5.3. Закон упругого изменения объема и закон упругого изменеия формы

Ранее было получено выражение

.

Среднее напряжение прямо пропорционально средней деформации. Так как, , то . Среднее напряжение в точке пропорционально объёмной деформации в окрестности той же точки.

Выражения определяют закон упругого изменения объёма. Этот закон справедлив и при высоких значениях гидростатического давления, значительно превышающих обычный предел упругости материала.

Если в выражениях для нормальных напряжений отнять от левых и правых частей величину , тогда

.

Подставляя , получим . В итоге ; ,

; ,

; .

Выражения широко применяются в теории пластичности. Если левые и правые части выражения назвать компонентами напряжений изменения формы с компонентами деформаций изменения формы, то обобщенный закон упругости является законом изменения формы. Формулируется так: компоненты напряжений и деформаций, соответствующие изменению формы, пропорциональны друг другу.

Систему зависимостей можно представить в виде таблицы

Как известно, левую матрицу называют девиатором напряжений, а правую – девиатором деформаций, тогда

.

Девиатор напряжений пропорционален девиатору деформации. Выражения определяют также закон изменения формы.

Используя закон изменения объёма и понятие о шаровых тензорах, имеем

.

т.е. шаровой тензор напряжений пропорционален шаровому тензору деформации, где

.

5.4. Связь между напряжениями и деформациями в пластической области

На базе обобщенного закона Гука в теории пластичности широкое распространение получили две теории: теория малых упругопластических деформаций и теория приращения пластических деформаций или теория пластического течения.

ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Выше было показано, что существует подобие диаграмм Мора для напряжений и деформаций в упругой области. Это положение является справедливым и для пластической области в условиях простого нагружения. Кроме этого направления главных линейных деформаций (удлинений) должно совпадать с направлением главных нормальных напряжений. В соответствии с положением о подобии диаграмм Мора в каждый момент пластической деформации имеет место соотношение

,

где – модуль пластичности второго рода, являющийся величиной переменной

Из соотношений , , и условия несжимаемости

,

определим значение

;

Поступая аналогичным образом с другими сочетаниями уравнений, получим с учетом

;

;

.

Коэффициент перед суммами напряжений представляет собой коэффициент Пуассона. Из последних выражений следует, что выражения для пластических деформаций аналогичны выражениям для упругих деформаций с той лишь разницей, что модуль упругости первого рода заменен модулем пластичности первого рода, при этом , а при , ,

где - модуль пластичности первого рода, величина переменная.

Из обобщённого закона упругости можно сделать ряд выводов, которые используются в теории пластичности. Например, линейное напряженное состояние и объёмное определяются уравнениями связи формально одинакового вида

, ,

тогда .

Полученное соотношение, в какой-то степени, объясняет гипотезу единой кривой. При пластической деформации в случае сложного напряженного состояния могут появиться области, где направление процесса (нагружение или разгрузка) может изменяться. Нагружение сменяется разгрузкой и наоборот. Это приведет к изменению главных направлений девиаторов деформаций и напряжений. Поэтому при сложном напряженном состоянии нагружение может быть как простым, так и сложным.

Связь напряжений и деформаций при простом нагружении в зоне пластического течения с учетом условия постоянства объема, т.е. ,

; ,

; ,

; .

Применение деформационной теории пластичности может быть использовано в случае простого или близкого к нему нагружения. Выражением простого нагружения в процессах обработки металлов давлением является понятие монотонности. Условие монотонности позволяет распространять деформационною теорию пластичности, созданную для малых упругопластических деформаций, на конечные, т.е. большие деформации, которые сопровождают процессы ОМД.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

Теория пластического течения предполагает связь компонентов напряжений с приращениями пластической деформации. В отличие от деформационной теории, где предполагается связь напряжений и деформаций. Последняя гипотеза подтверждается опытами и справедлива, как для простого нагружения, так и для сложного. Переход от приращений деформаций к скоростям деформаций осуществляется путем деления на - элементарное время. В скоростях деформаций

; ,

; ,

; ,

где и - интенсивности касательных напряжений и скоростей деформаций сдвига; - линейная скорость деформации; - сдвиговая скорость деформации.