13.2. Особенности напряженного состояния стержней ферм. Порядок определения усилий в фермах методом вырезания узлов

Для подбора поперечного сечения стержней, проектирования и конструирования ферм необходимо знать усилия, действующие в стержнях под воздействием нагрузок. Как указывалось выше, большинство узлов ферм выполнены жесткими – при помощи сварки или болтов. Однако разница усилий, полученных при расчете фермы с жесткими узлами и при расчете той же фермы с заменой всех жестких узлов шарнирными очень незначительна (не превышает обычно 1,5-2%). Расчетная схема (10.1) фермы с жесткими узлами (12.5) является много раз статически неопределимой системой (10.8). В этом несложно убедиться, применив к такой ферме формулу контуров (12.1). Замена же жестких узлов шарнирными, позволяет получить статически определимую систему (10.7), расчет которой намного проще, чем статически неопределимой. Особо актуальным этот вопрос является при так называемом "ручном" расчете, методы которого будут рассмотрены ниже. (Следует отметить, что с развитием современных программных комплексов, позволяющих производить расчеты сложных систем, необходимость замены жестких узлов шарнирными отпадает.)

При наличии на шарнирно-стержневой конструкции только узловой нагрузки в поперечном сечении стержней будут возникать только продольные силы (12.6).

Рассмотрим ферму на рис. (13.8, а). Для этого пронумеруем в произвольном порядке все узлы (12.4) данной фермы. На основании метода сечений (5.2) проведем некоторое сечение I-I так, чтобы вырезать из фермы любой узел, например узел 5. Изобразим такой узел отдельно (рис. 13.8, б), и вместо отброшенной части фермы приложим внутренние усилия в стержнях – продольные силы. Изначально усилия неизвестны, поэтому считаем их положительными, направляя их в сторону растяжения соответствующих стержней. Полученная система сил является сходящейся, поскольку все четыре силы сходятся в одной точке. Условие равновесия тела под действие системы сходящихся сил (2.15) имеет вид:

В этом условии всего два независимых линейных уравнения, из которых можно определить две неизвестные силы. В нашей системе неизвестны три силы – N_3-5, N_4-5, N_5-6. Следовательно, найти все неизвестные из уравнений равновесия, вырезав узел 5 из фермы, нельзя. Однако, следуя логике, что количество неизвестных сил в вырезанном узле не будет превышать количество уравнений статики, т.е. два, попробуем проанализировать данную ферму. Очевидно, что если вырезать из фермы узел 1 или узел А, то сечение пройдет только через два стержня фермы, и, соответственно, неизвестных усилия будет также два. Определив эти усилия из уравнений равновесия, можем задействовать эти данные для дальнейшего расчета. Так, имея из расчета усилий в узле 1 усилие в стержне 1-2, можно рассмотреть равновесие узла 2, поскольку из трех усилий в стержнях, сходящихся в узле 2, неизвестных остается только два. Рассуждая подобным образом и вырезая последовательно узлы из фермы, можно определить усилия во всех стержнях. Последний рассмотренный узел фермы является проверочным, поскольку все усилия на этом этапе уже будут известны.

Таким образом, для определения усилий в стержнях ферм методом вырезания узлов необходимо:

1) из фермы вырезать узел, в котором сходятся не более двух неизвестных усилий;

2) изобразить вырезанный узел отдельно, неизвестные усилия, приняв положительными и направив их в сторону растяжения стержней;

3) составить систему уравнений равновесия:

4) Решить полученную систему и найти неизвестные усилия;

5) Вырезать из фермы следующий узел, в котором сходятся не более двух неизвестных усилий. При этом уже найденные усилия на схеме узла изображают в том направлении, куда они действуют: положительные продольные силы вызывают растяжение стержня, отрицательные – сжатие.

Пример определения усилий методом вырезания узлов рассмотрим в следующей лекции.