40. Методи розв'язування задачі Коші системи звичайних диференціальних рівнянь. Метод Ейлера. Методи типу Рунге-Кутта. Методи з вибором кроку інтегрування.

Задача Коші

Означення 6.1. Сукупність рівнянь вигляду

, (6.1)

де – шукані функції від незалежної змінної , називається системою диференціальних рівнянь першого порядку.

Означення 6.2. Будемо говорити, що систему звичайних диференціальних рівнянь (6.1) записано в нормальній формі, якщо її можна розвязати відносно похідних і представити в такому вигляді

. (6.2)

Число рівнянь системи диференціальних рівнянь (6.2) називається її порядком.

Означення 6.3. Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (6.2) лінійні по

, (6.3)

то система називається лінійною.

Означення 6.4. Сукупність функцій

(6.4)

визначених і неперервно диференційовних на називається розвязком системи (6.2), якщо вона перетворює всі рівняння системи (6.2) в тотожності на .

Процес знаходження розвязків системи називається інтегруванням.

Задача Коші: для системи диференціальних рівнянь (6.2) серед всіх розвязків знайти такий

, (6.5)

який задовольняє умовам

. (6.6)

Тут – початкові значення шуканих функцій, – початкове значення незалежної змінної . Числа називаються початковими даними розвязку (6.5), умови (6.6) – початковими умовами.

Геометричний зміст задачі Коші – серед всіх інтегральних кривих системи диференціальних рівнянь (6.2) знайти ту, яка проходить через точку (6.6).

Механічний зміст задачі Коші – знайти такий рух, визначений системою диференціальних рівнянь (6.2), який задовольняє початковим умовам (6.6).

Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

.

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо

Скоротивши на , і перенісши всі члени вправо, запишемо

Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

.

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі

і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його

.

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має -коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Всі корені характеристичного рівняння (власні числа матриці ) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи

, , … ,

що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам , .

У такий спосіб одержимо - розв’язків

, , … , ...

Причому оскільки -різні а - відповідні їм власні вектори, то розв’язки - лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

.

Або у векторно - матричної формі запису

,

де - довільні сталі.

2. Нехай пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад . Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

і, відповідно, розв’язок

Використовуючи залежність , перетворимо розв’язок до вигляду:

.

І, як випливає з властивості 4 розв’язків однорідних систем, якщо комплексна функція дійсного аргументу є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв’язками, тобто комплексним власним числам відповідають лінійно незалежні розв’язки

, .

3. Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь кратності , тобто , то розв’язок системи рівнянь має вигляд

.

Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо - рівнянь, що містять -невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння має кратність , то ранг отриманої системи . Уводячи довільних сталих і розв’язуючи систему, одержимо

, , .

Методи Рунге-Кутта — важлива група чисельних методів розв'язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Класичний метод Рунге-Кутта 4 порядку

Метод Рунге-Кутта 4 порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге-Кутта.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

.

Тоді значення невідомої функції в точці обчислюється відносно значення в попередній точці по такій формулі:

,

де — крок інтегрування, а коефіцієнти розраховуються наступним чином:

Це метод 4-ого порядку, тобто похибка на кожному кроці становить , а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною .

Прямі методи Рунге-Кутта

Група прямих методів Рунге-Кутта є узагальненням метода Рунге-Кутта 2-го порядку. Воно задається формулами

де

Конкретний метод визначається числом і коефіцієнтами і . Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

	0
	c2	a21
	c3	a31		a32
	cs	as1		as2		as,s − 1
		b1		b2		bs − 1	bs

Для коефіцієнтів методу Рунге-Кутта мають виконуватись умови для .

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок , то варто так само забезпечити умову де — наближення, отримане по методу Рунге-Кутта. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь на коефіцієнти методу.