3.5.2. Лабораторная модель №5. Задача определения оптимальной входной платы

Постановка задачи

Организация видеосалона на 6 столиков по 4 места за каждым предполагает, что с каждого посетителя будет взиматься плата за сеанс видеофильма и легкий ужин (всем посетителям будет предлагаться один и тот же набор блюд). Администрация города постановила, что плата за вход не должна превышать 5-ти условных единиц. Требуется определить оптимальную входную плату, обеспечивающую рентабельность видеосалона.

Казалось бы, чем выше входная плата, тем больше прибыль. Часто планирующие органы подобным образом и поступают. В нашем случае – увеличение входной платы приведет к низкой посещаемости видеосалона.

Начинаем работу с построения математической модели. Предположим, что посещаемость зависит от входной платы.

Обозначим входную плату через X. Тогда среднее число посетителей видеосалона является функцией от Х. Обозначим эту функцию через Р(Х). В задаче требуется найти такое значение X, при котором прибыль (выручка), равная произведению входной платы на количество посетителей Х*Р(Х), достигает максимума. Если бы функция Р(Х) была известна, то найти требуемый максимум не составило бы особого труда. Но эта функция не известна, поэтому попробуем найти хотя бы общий вид функции. Его можно указать, обобщив опыт работы подобных видеосалонов (кафе):

P(X)=ax²-bx+c (2)

Коэффициенты а, b и с для определенного видеосалона свои. Проще всего найти значение с. Представим, что вход в видеосалон бесплатный (т.е. Х=0). Возможно, что свободных мест не будет. Следовательно, Р(0) равно числу мест в кафе. С другой стороны, подставив 0 вместо X, получим Р(0)=с. Значит, с равно количеству мест. В нашем случае с=24 (6 столиков по 4 места за каждым).

Определить а и b также просто не удается. Справочников по посещаемости видеосалонов еще нет. Поэтому здесь требуется эксперимент.

Достаточно установить на некоторый срок (дней на восемь) определённую плату за вход. Среднее число посетителей и даст нам (приближенное) значение функции. Установив другую плату за вход, найдем приближенное значение Р(Х) при новом X, и так несколько раз.

Зависимость посещаемости от входной платы (на основе экспериментальных данных для конкретного кафе) представлена в таблице 3.16:

Таблица 3.16

Входная плата X (в усл.ед)	Среднее число посетителей сеанса P(Х)
1	20
1,5	17,5
2	16
2,5	14
3	12,4
3,5	11
4	9,2
5	7

Можно подобрать значения а и b способом, аналогичным при решении задачи 3.3.1.

Задание 1. Внимательно ознакомьтесь с постановкой задачи.

На каких предположениях строится математическая модель?

Что является исходными данными?

Что должно явиться результатом?

Задание 2. Заполните таблицу эксперимента (табл. 3.16).

1) сделайте заголовок и заполните шапку таблицы;

2) отведите столбцы А и В таблицы соответственно под коэффициенты а и b;

3) в столбец С занесите данные по входной плате;

4) в столбец D занесите экспериментальные данные по среднему числу посетителей (табл.3.16);

5) в столбце Е подсчитайте условную прибыль на основе экспериментальных данных как произведение входной платы на количество посетителей.

Задание 3. Подберите приближенные значения коэффициентов а и b.

Подбор коэффициентов а и b выполняется аппроксимацией экспериментальных данных по аналогии с задачей 3.3.1

1) постройте диаграмму типа X–Y по экспериментальным данным (X – входная плата. У – экспериментальные данные по количеству посетителей);

2) аппроксимируйте полученную кривую;

При построении линии тpeнда следует выбрать полиноминальный тип (см. формулу (2)) и указатьY-пересечение =24

3) занесите полученные значения коэффициенты а и b в таблицу.

Задание 4. Вычислите теоретическое количество посетителей и теоретическую прибыль.

1) в столбце F вычислите по формуле (2) теоретическое количество посетителей;

2) в столбце G вычислите теоретическую выручку.

Задание 5. Вычислите отклонение между экспериментальной и теоретической выручкой и погрешность.

1) в столбце Н вычислите отклонение между экспериментальной и теоретической условной прибылью;

2) в свободной ячейке столбца Н определите погрешность.

Задание 6. Подберите коэффициенты а и b, стараясь минимизировать погрешность.