Билет №7
1. ax2+bx+c=0|:a a≠0 x2+ + =0 x2 +2x∙ + - + =0
(X+ )2- =0 D=b2-4ac (X+ )2- =0 (X+ - ) (X+ + )=0
(X+ ) (X- )=0
2. y=x2 - частный случай полной квадратичной функции. Квадратичная функция – функция вида , где a, b и c –числа , причем a≠0
1)ООФ - те значения аргумента при которых функция имеет смысл D(y)=(-∞;+∞)
2)МЗФ— множество значений, которые может принимать функция E(y)=(0; +∞) т. к. квадрат всегда ≥0
3)Корни: x2=0 х=0 точка пересечения графика с осью абсциссы
4) Промежутки знакопостоянства- это те значения аргумента при которых функция не меняет знак( Непрерывная функция – функция график которой можно начертить не отрывая руки)
у>0 x2>0 х (-∞;0) U (0;+∞)
у>0 на промежутке (-∞;0) U (0;+∞) график попадает в I и II координатный угол
5)Монотонность: Если функция или возрастает или убывает то функция монотонная. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
[ x1,x2 €D(y)= (-∞;0)x1 > x2
y(x1) –y(x2)=x12-x22=(x1-x2)( x1+x2)<0 Значит y(x)↓
[ x1,x2 €D(y)= (0;+∞) x1 > x2
y(x1) –y(x2)=x12-x22=(x1-x2)( x1+x2)>0 Значит y(x)↑
Следовательно, функция не монотонная
6)Четность: Функция называется четной, если выполняется два условия:
1.ООФ симметрична относительно начала отсчета
2.Для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= ∫(х)
Функция называется не четной, если выполняется два условия:
1.ООФ симметрична относительно начала отсчета
2.для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= -∫(х) (Если не выполнено хотя бы одно условие то функция относится к функциям общего вида).
1.ООФ: D(у)= (-∞;+∞) симметрична
2.у(-х)=х2=у(х)≠- у(х) следовательно функция четная
7)График-множество точек координатной плоскости, где абсцисса соответствует значению аргумента функции, а ордината соответствует значению самой функции. Способы построения: по точкам; с помощью использования параллельного переноса и симметрии. Графиком является парабола.
Билет №8
Теорема Виета: Если х1,х2 корни квадратного уравнения ах2+bx+c=0 то сумма корней равна ,а произведение корней равно .
x 1+x2=
x1∙x2=
Доказательство: запишем формулу для корней x1,2
x 1+x2= + = =−
x1∙x2= ∙ = = = =
Приведенное квадратное уравнение – уравнение вида x2+px+q=0
Теорема обратная теореме Виета: Если для чисел x1,x2 выполнено равенство
x 1+x2=-p
x1∙x2=q
т о эти числа корни приведенного квадратного уравнения. Доказательство: x2+px+q= x2-( x1+x2)x+ x1∙x2= x2- x1∙x-x2∙x+ x1∙x2=x(x-x1)-x2(x-x1)=(x+x2) (x-x1) Следовательно x1 x2 являются корнями уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители: Квадратный трехчлен- это многочлен состоящий из 3-х слагаемых старшая степень которого квадрат 1)Теорема: если x1 и x2 корни квадратного уравнения ах2+bx+c=0 то справедливо тождество ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) доказательство : 1) Применим теорему Виета т. к. x1 и x2 корни x1+x2=
x1∙x2=
2)Л.ч.= ах2+bx+c=a(x2+ ∙x+ )=a(x2+(x1+x2) ∙x+ x1∙x2)=a(x(x-x1)-x2(x-x1))=a(x+x2) (x-x1)=П.ч.
2)Если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители то оно имеет корни. Дано: ах2+bx+c=(kx+z)(mx+d) т.е. мы должны доказать что есть числа являющиеся корнями. Доказательство: (kx+z)(mx+d) =k(x+ )∙m(x+ )=km(x+ ) (x+ ) km=a - =x1 - = x2 корни есть. 3)Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Доказательство: Предположим что квадратный трехчлен разложен на линейные множители, значит, по предыдущей теореме квадратный трехчлен должен иметь корни, что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно и подобный многочлен разложить на множители нельзя.
2.см билет №5 вопрос 4