- •Тексты лекций по математике I семестр
- •1.3. Перемножение матриц.
- •1.4. Определители второго и третьего порядков
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6.Разложение определителя по строке.
- •2.1. Обратная матрица.
- •2.2. Решение матричных уравнений
- •2.3. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы
- •2.4. Теорема о ранге.
- •3.1. Основные понятия о системах линейных уравнений
- •3.2. Правило Крамера.
- •1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.
- •3.5.Общее решение однородной линейной системы.
- •5.1. Основные понятия о векторах.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Базис и координаты вектора.
- •5.4. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Свойства характеристического многочлена:
- •Свойства собственных чисел и собственных векторов:
- •Свойства эллипса:
- •Гипербола.
- •Свойства гиперболы:
- •Парабола.
- •Свойства параболы:
- •Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- •Математический анализ
- •Операции с множествами
- •Множество действительных чисел.
- •Функция.
- •Пределы функций.
- •Свойства пределов.
- •Предел числовой последовательности.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Бесконечно большие функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Непрерывность обратной функции.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Натуральный логарифм и гиперболические функции.
- •Определение комплексного числа.
- •2. Вычисление рациональных корней уравнения.
- •3. Простейшие рациональные дроби.
- •4. Методы вычисления коэффициентов числителя.
- •Определение производной. Ее практическое содержание
- •Дифференцируемость и непрерывность.
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование основных элементарных функций
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Дифференциал функции и его приложение
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Предел функции.
- •§3. Частные производные.
- •§4. Полный дифференциал функции.
- •§5. Производная по направлению. Градиент.
- •§6. Экстремум функции нескольких переменных.
- •§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Дифференцируемость и непрерывность.
Опр. Функция, имеющая конечную производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала, называется дифференцируемой на интервале. Например, функция у = х2 дифференцируема при любом х (- ; ).
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.
По определению f '(х) = , т.е. х0. Если у не стремится к нулю то f '(х) или не существует или является бесконечно большой. Остается случай, когда у0, а в этом случае f(х) является непрерывной функцией. При этом выполняется такая теорема.
Теорема 1.
1) любая дифференцируемая функция в точке является непрерывной в этой точке.
2)существуют непрерывные в точках функции, но не дифференцируемые в этих точках.
■ 1) Пусть f(x) дифференцируема в точке х. Тогда существует ее производная f '(х) = . По теореме о связи функции, имеющей предел и бесконечно малую в окрестности точки х имеем:
= f '(х) + (х), у = f '(х)х + (х)х. Очевидно, при х0 и у0, это означает, что f(х) непрерывна в точке х.
2) Этот пункт иллюстрирует функция у = |х| (рис. 4.). в точке х = 0 эта функция непрерывна. Дадим х приращение х, приращение функции в точке х = 0:
у
у = |х|
х
рис4.
у
0
х
рис. 5.
рис 4.5.
Т .к. |х|= , то =1, а = -1.
Таким образом отношение при х0 слева и справа имеет различные пределы, т.е. f ' (х) не существует в точке х = 0.
Р ассмотрим еще один пример. Функция непрерывна на всей числовой прямой (рис.4.5.). покажем что в точке х = 0 эта функция не имеет производной.
Отношение ;
. ■
Правила дифференцирования
Основные правила дифференцирования сформулированы в виде теорем.
Теорема 1. Производная постоянной равна нулю.
■ Для функции у = с, у = с – с = 0; значит у' = = 0. ■
Например, (2)'=()'=(ln )'=(sin 23)'=0.
Теорема 2.(о дифференцировании суммы). Производная от суммы ограниченного числа дифференцируемых функций равна сумме производных от этих функций.
■ Пусть y = u(x) + v(x), где u(x) и v(x) – дифференцируемые функции. Тогда
у' = (u + v)' = u' + v'. ■
Например, (х2 + х + 3)' = 2х + 1.
Т еорема 3. Производная произведения двух дифференцируемых функций u(x) и v(x) имеет вид
(uv)' = u'v + uv' (9.)
■ Пусть y = u(x)v(x); у = (u + u)(v + v) – uv = uv + uv + vu + uv – uv = uv + vu + uv. Тогда производная
у'=(uv)'= = vu' + uv'+ + u'0 = u'v + uv'.
Здесь мы воспользовались непрерывностью функции v = v(x), т.е. =0. ■
С ледствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
(cf(x))' = c(f(x))' (10.)
Теорема 4. Производная частного двух дифференцируемых функций u(x) и v(x) (v(x) 0) имеет вид:
(11.)
Пример. Продифференцировать функцию .
Решение.
Пусть переменная у есть некоторая функция аргумента u, а переменная u в свою очередь есть функция аргумента х. Тогда у, как функция аргумента х, называется сложной (функция от функции) и обозначается у = f(u(x)), u назовем промежуточным аргументом, например, y = ln(x+3), u = x+3, y = ln u;
y = sin(x2), u = x2, y = sin u;
y = sin2 x, u = sin x, y = u2.
Правило: за промежуточный аргумент у сложной функции принимается та величина, над которой совершается последнее действие при вычислении значения функции при заданном значении аргумента.
Например, y = arctg x2, последнее действие при вычислении значения этой функции – это вычисление арктангенса, - производится над выражением х2, значит промежуточный аргумент этой функции u = x2, а y = arctg u.
Т еорема 5.(производная сложной функции). Пусть функции y = f(u(x)) и u = u(x) дифференцируемы в соответствующих точках, тогда производная сложной функции y = f(u(x)) равна
y'x = y'u u'x (12.)
■ Функции y = f(u) и u = u(x) дифференцируемы, значит непрерывны, поэтому при х0, u0 и у0.
Отношение представим в виде: и перейдем к пределу:
y'u u'x ■
Правило: чтобы найти производную сложной функции, нужно производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента.
Пример. Найти производную функции y = (3x2 + 5x – 2)2.
Решение: промежуточный аргумент u=3x2+5x–2, у=u2. Значит
у'=((3x2+5x–2)2)'=|u=3x2+5x–2|=(u2)'=2uu'=2(3x2+5x-2) (3x2+5x-2)’= =2(3x2+5x–2)(6x+5).