- •Тексты лекций по математике I семестр
- •1.3. Перемножение матриц.
- •1.4. Определители второго и третьего порядков
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6.Разложение определителя по строке.
- •2.1. Обратная матрица.
- •2.2. Решение матричных уравнений
- •2.3. Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы
- •2.4. Теорема о ранге.
- •3.1. Основные понятия о системах линейных уравнений
- •3.2. Правило Крамера.
- •1. Если система (3.2) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •3.3. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •3. 4. Метод Гаусса решения линейных систем.
- •3.5.Общее решение однородной линейной системы.
- •5.1. Основные понятия о векторах.
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •5.3. Базис и координаты вектора.
- •5.4. Скалярное произведение векторов.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов.
- •Прямая на плоскости.
- •Неполные уравнения прямой.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Плоскость в пространстве
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
- •Собственные числа и собственные векторы матрицы
- •Свойства характеристического многочлена:
- •Свойства собственных чисел и собственных векторов:
- •Свойства эллипса:
- •Гипербола.
- •Свойства гиперболы:
- •Парабола.
- •Свойства параболы:
- •Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.
- •Математический анализ
- •Операции с множествами
- •Множество действительных чисел.
- •Функция.
- •Пределы функций.
- •Свойства пределов.
- •Предел числовой последовательности.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Бесконечно большие функции.
- •Свойства непрерывных функций.
- •Точки разрыва и их классификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •Непрерывность обратной функции.
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Натуральный логарифм и гиперболические функции.
- •Определение комплексного числа.
- •2. Вычисление рациональных корней уравнения.
- •3. Простейшие рациональные дроби.
- •4. Методы вычисления коэффициентов числителя.
- •Определение производной. Ее практическое содержание
- •Дифференцируемость и непрерывность.
- •Правила дифференцирования
- •Дифференцирование основных элементарных функций
- •Дифференцирование функции, заданной неявно
- •Дифференциал функции и его приложение
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •Производные и дифференциалы функции, заданной параметрически
- •§1. Основные понятия.
- •§2. Предел функции.
- •§3. Частные производные.
- •§4. Полный дифференциал функции.
- •§5. Производная по направлению. Градиент.
- •§6. Экстремум функции нескольких переменных.
- •§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Дифференцирование функции, заданной неявно
Определение 1. Равенство F(x, y) = 0 определяет у как функцию у = у(х), задает эту функцию неявно.
Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно продифференцировать равенство F(x, y) = 0 по аргументу х и решить уравнение относительно у'.
Примеры 1 – 4. Продифференцировать функцию у = у(х), заданную неявно.
х3 + у2 - 5х = 0.
Решение. Продифференцируем это равенство:
(х3 + у2 - 5х)' = 0;
3х2 + 2уу' = 0;
Решим полученное равенство относительно у':
ху2 + sin y – 2x = 3.
Решение. Продифференцируем равенство по х, считая у функцией по х:
(ху2)' + (sin y)’ – 2(x)’ = (3)’;
(х)' у2 + х (у2)' + cos у y’ – 2 = 0;
у2 + х 2у у' + cos y y’ = 2;
Решим уравнение относительно у':
2х у у' + cos y y’ = 2 - у2 ;
у'(2х у + cos y) = 2 - у2;
Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдем производные следующих функций.
Пример 1. Найти производные следующих функций
Решение. Имеем:
Пример 2. у = х2 (cos x – 4 sin x).
Решение. Воспользуемся формулой 9 и таблицей производных.
Пример 3. у = (3х2 + 5х – 1)3.
Решение. Имеем сложную функцию, последнее действие производится над выражением u = 3х2 + 5х – 1.
Пример 4. y = arctg8 x
Решение. Имеем сложную функцию, последнее действие – возведение в 8ую степень производится над u = arctg x.
Пример 5. у =
Решение. Имеем дважды сложную функцию
Пример 6.
Решение. Воспользуемся формулой 11
Пример 7. y = arctg (ln x) + ln (arctg x).
Решение. Имеем сумму двух сложных функций, воспользуемся правилами дифференцирования суммы функций, при вычислении значения функции в первом слагаемом последнее действие – (вычисление арктангенса) производится над логарифмом, значит, промежуточный аргумент – ln x, а во втором слагаемом (вычисление логарифма) – над arctg x, значит промежуточный аргумент – arctg x.
Пример 8.
Решение. Имеем функцию у = у(х), заданную неявно. Продифференцируем это равенство, считая, что sin y, e – y – сложные функции:
В левой части группируем слагаемые с у', в правую часть переносим слагаемые, не содержащие у'.
Пример 9. .
Решение. Имеем показательно-степенную функцию .
Прологарифмируем данное равенство:
Продифференцируем данное равенство:
Дифференциал функции и его приложение
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке х, тогда f ’(x) = , а по теореме о связи функции, имеющей предел и бесконечно-малой , т.е. приращение функции можно представить в виде двух слагаемых, одно зависит от х линейно, а второе содержит степени х не ниже второй.
Опр. 1. Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.
Обозначается: (34)
Для f (x) = x; dx = х, тогда dy = f ’(x)dx
Поэтому производную функции y = f(x) можно обозначить:
(35.)
Из определения (4.29) следует, что свойства дифференциалов аналогичны свойствам производной:
Приложения дифференциала основываются на приближенной формуле:
(36)
Приближенные вычисления.
Пусть известно значение функции y = f (x) в точке х0, т.е. f (х0). Тогда . Обозначим х = х0 + х, получим
(37)
Пример. Вычислить приближенно значение
1) .
Решение. Имеем
х = 4,01; х = х - х0=0,01.
Поэтому
Имеем f (x) = sin x; x=330= , берем
sin 330 = sin
Оценка погрешности.
Пусть имеем зависимость y = f (x), а х измеряется с ошибкой х, тогда у получит ошибку у:
.
Например, найдем ошибку при вычислении ln 2,1. Т.к. х = 2,1, то ошибка х = 0,05, f (x) = ln x; поэтому