21. Интегрирование иррациональных выражений.

Необходимо свести интегралы от иррациональных функций к интегралам от рациональных функций.

Обозначим через R(U,V) функцию от переменных U,V и некоторых постоянных, которая построена с использованием четырёх арифметических действий. Метод замены переменных

22. Понятие определённого интеграла и свойства его.

Определение: пусть предел интегральной суммы при стремлении max xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1 ,х2,хn и точек ξ1, ξ2 …ξn . Тогда этот предел называется определённый и интегралом от функции y=f(x) на отрезке [а,в] , обозначается = lim f(ξi) xi

Геометрический смысл : площадь α под кривой .

Свойства:

1.Постоянный мн-тель можно выносить за знак интеграла а = а где а – нек. Число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей

4. Если на отрезке [а,в] , то , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. Теорема о среднем. Если функция у= f(x) непрерывна на отрезке [а,в], то найдётся такое значение ξ є [а,в], =f (ξ)(в-а)

23. Определенный интеграл как функция верхнего предела.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то функция Ф(х) также непрерывна на [a,b].

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда в каждой точке х отрезка [a,b] производная функции Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е. .

24. Формула Ньютона-Лейбница .

Теорема: Пусть функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [а,в] .

Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [а,в] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

= F(b) – F(a)

Алгоритм вычисления: 1. получить первозданную F(x) для подынтегральной ф-ии. f(x) с помощью нахождения неопределённого интеграла.

2. применить формулу (Вычисляя приращение первообразной равное искомому интегралу). Обозначение для приращения первообразной :F(x) = F(b) – F(a)

25. Несобственные интегралы с бесконечными приделами. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Определение: несобственным интегралом от ф-ии f(x) на полуинтервале[а;+ называется предел функции Ф(t) при t , стремящемся к +

=

Если предел, стоящий в правой части равенства существует конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, в негативном случае – расходящийся .

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [a,t], т.е. функция Ф(t)= , определена для произвольного t .

26. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Признаки сходимости: 1) , если предел существует и конечен, то он сходящийся, иначе- расходящийся.

2)f(x) [a,b]

в таком случае нельзя применять формулу Ньютона-Лейбница, ее можно применять, если F(x)- непрерывна.