- •Методы изображения фигур
- •§1. Аффинное преобразование.
- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§3. Аффинная эквивалентность.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •§ 8. Изображение цилиндра и конуса.
- •§9. Изображение шара.
- •§9. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§10. Изображение прямых и плоскостей в аксонометрической проекции.
- •§11. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§12. Полные и неполные изображения.
- •§13. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§14. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •§14. Построение сечения цилиндра.
- •§15. Построение сечения конуса.
- •§16. Построение сечения шара.
- •§16. Смешанные фигуры.
- •§16. Метрические задачи.
§2. Параллельное проецирование.
О пределение. Выберем в пространстве некоторую плоскость и вектор p;\s\up8(( не параллельный . Пусть A; ¯ – произвольная точка в пространстве. Проведём через A; ¯ прямую, параллельную p;\s\up8((. Эта прямая пересечёт плоскость в точке Ao, которая называется параллельной проекцией точки A; ¯ на плоскость по направлению вектора p;\s\up8((.
Совокупность проекций всех точек фигуры (;¯ составляют фигуру o, которая называется проекцией фигуры . Если вектор p;\s\up8((, то проекция называется ортогональной.
В дальнейшем будем предполагать, что все рассматриваемые прямые и отрезки не параллельны вектору p;\s\up8((.
С войства параллельного проецирования.
1. Проекция прямой есть прямая.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3 . Проекция отрезка A; ¯B; ¯ есть отрезок AoBo, где Ao – проекция точки A; ¯, Bo – проекция точки B; ¯.
4. При параллельном проецировании сохраняется простое отношение трёх точек. В частности, проекция середины отрезка A; ¯B; ¯ есть середина отрезка AoBo.
5 . Проекции параллельных отрезков, или отрезков, лежащих на одной прямой, параллельны или лежат на одной прямой.
6. Проекции параллельных отрезков, или от-резков, лежащих на одной прямой пропорциональны этим отрезкам:
= .
У пражнение. Доказательство всех этих утверждений не выходит за рамки школьного курса математики. Докажите их самостоятельно.
Пусть (; ¯ и – две различные плоскости, а p;\s\up8(( – вектор не параллельный этим плоскостям. Каждой точке M; ¯(; ¯ поставим в соответствие её проекцию Mo на плоскость параллельно вектору p;\s\up8((. Полученное отображение f:(; ¯ – называется параллельным проецированием плоскости (; ¯ на плоскость по направлению вектора p;\s\up8((.
§3. Аффинные отображения.
Определение. Пусть (; ¯ и – две различные или совпадающие плоскости в пространстве. Взаимнооднозначное отображение f:(; ¯ – называется аффинным отображением плоскости (; ¯ на плоскость , если любые три точки M1;¯, M2;¯, M3;¯ плоскости (; ¯, лежащие на одной прямой, переходят в три точки M1, M2, M3 плоскости , лежащие на одной прямой.
Отображение f:(; ¯ – называется подобием, если существует такое число k>0, что для любых точек A; ¯, B; ¯ плоскости (; ¯ и их образов Ao, Bo в плоскости выполняется |AoBo|=k|A; ¯B; ¯ |.
Если плоскости (; ¯ и совпадают, то аффинное отображение будет аффинным преобразованием, а подобие – преобразованием подобия. Можно доказать, что аффинное отображение сохраняет простое отношение трёх точек.
Лемма. Подобие является аффинным отображением.
Доказательство. Согласно неравенству треугольника |AB|+|BC||AC|, и при этом равенство возможно тогда и только тогда, когда B лежит на отрезке AC.
Пусть f:(; ¯ – – подобие, а M1;¯, M2;¯, M3;¯ – три точки плоскости (; ¯, лежащие на одной прямой. Тогда, если M2;¯ лежит между M1;¯ и M3;¯, то выполняется |M1;¯M3;¯|=|M1;¯M2;¯|+|M2;¯M3;¯|. Пусть M1, M2, M3 – образы этих точек. Тогда
|M1M2|+|M2M3|=k|M1;¯M2;¯|+k|M2;¯M3;¯|= =k(|M1;¯M2;¯|+|M2;¯M3;¯|)=k|M1;¯M3;¯|=|M1M3|.
А это означает, что M2 лежит на отрезке M1M3.
Примеры аффинных отображений.
1. Параллельное проецирование одной плоскости на другую.
2 . Пусть f1:(; ¯ – – параллельное проецирование, а f2:– – некоторое аффинное преобразование плоскости (например, подобие). Тогда отображение f2f1:(; ¯ – будет аффинным отображением.
Все свойства аффинных преобразований переносятся и на аффинные отображения. Доказательства следующих теорем получаются из доказательств теорем 1 и 2 заменой слова «преобразование» на слово «отображение».
Теорема 3. Пусть R; ¯ = {O; ¯, A1;¯, A2;¯} и R = {O, A1, A2} – произвольные аффинные реперы в плоскостях (; ¯ и соответственно. Тогда существует одно и только одно аффинное отображение плоскости (; ¯ на плоскость , которое переводит репер R в репер R . При этом движении точка M с данными координатами в репере R переходит в точку M с такими же координатами в репере R .
Теорема 4. Любое аффинное преобразование f:(; ¯ – переводит репер на плоскости (; ¯ в репер на плоскости .
Следствие. Аффинное отображение переводит параллельные прямые в параллельные прямые, луч – в луч, отрезок – в отрезок, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в угол.