- •Методы изображения фигур
- •§1. Аффинное преобразование.
- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§3. Аффинная эквивалентность.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •§ 8. Изображение цилиндра и конуса.
- •§9. Изображение шара.
- •§9. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§10. Изображение прямых и плоскостей в аксонометрической проекции.
- •§11. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§12. Полные и неполные изображения.
- •§13. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§14. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •§14. Построение сечения цилиндра.
- •§15. Построение сечения конуса.
- •§16. Построение сечения шара.
- •§16. Смешанные фигуры.
- •§16. Метрические задачи.
§3. Аффинная эквивалентность.
Определение. Фигуры и (;¯, лежащие в плоскостях (; ¯ и соответственно, называются аффинно-эквивалентными, если существует аффинное отображение f:(; ¯ – , которое фигуру (;¯ переводит в фигуру .
Вершины произвольного треугольника образуют репер. Поэтому из теоремы 3 следует, что произвольные два треугольника A; ¯B; ¯C; ¯(; ¯ и ABC аффинно-эквивалентны.
Теорема 5. Два четырёхугольника, которые лежат в плоскостях (; ¯ и аффинно-эквивалентны тогда и только тогда, когда их можно обозначить буквами A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ и ABCD так, что для точек E; ¯ = A; ¯C; ¯ B; ¯D; ¯ и E=ACBD будет выполнено
(A; ¯C; ¯, E; ¯)=(AC, E), (B; ¯D; ¯, E; ¯)=(BD, E) (1)
Условие (1) означает, что соответствующие диагонали четырёхугольников делятся точкой пересечения диагоналей в одинаковом отношении.
Доказательство. Пусть четырёхугольники аффинно-эквивалентны. Это значит, существует аффинное отображение f:(; ¯ – , которое переводит первый четырёхугольник во второй. Обозначим их так, чтобы выполнялось A=f(A; ¯), B=f(B; ¯), C=f(C; ¯), D=f(D; ¯). Тогда отрезок A; ¯C; ¯ переходит в отрезок AC, отрезок B; ¯D; ¯ – в отрезок BD. Точка пересечения отрезков A; ¯C; ¯ и B; ¯D; ¯ переходит в точку пересечения отрезков AC и BD, и при этом сохраняется простое отношение трёх точек. Это означает, что выполняется (1).
Обратно, пусть четырёхугольники обозначены буквами так, что выполнено (1). Рассмотрим аффинное отображение f:(; ¯ – , которое переводит репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, D; ¯} в репер R = {A, B, D}. В силу (1) точка E; ¯ будет переходить именно в точку E. Мы имеем f(A; ¯)=A, f(E; ¯)=E. Значит, луч A; ¯E; ¯ переходит в луч AE, а первое из условий (1) оказывает, что точка C; ¯A; ¯E; ¯ переходит в точку CAE. Таким образом, четырёхугольник A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ переходит в четырёхугольник ABCD.
§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
Выберем в пространстве некоторую плоскость и назовём её плоскостью изображений. Выберем вектор p;\s\up8(( непараллельный . Направление этого вектора назовём направлением проецирования. Пусть (;¯ – некоторая фигура в пространстве, а o – её проекция на плоскость .
Определение. Фигуру (;¯ будем называть оригиналом, а o – проекцией оригинала. Всякая фигура , подобная o называется изображением фигуры (;¯.
Поясним. Вы хотите изобразить на стандартном листе бумаги стол. Проекция стола на этот лист не помещается. Поэтому необходимо совершить преобразование подобия: в данном случае – уменьшить проекцию. Иногда нужно ещё совершить поворот, для того, чтобы наиболее удобно поместить изображение.
Рассмотрим изображение плоских фигур. В дальнейшем везде предполагаем, что плоскость (; ¯, в которой расположен оригинал (;¯, и плоскость изображений не параллельны, а вектор p;\s\up8((, задающий направление проецирования не параллелен ни одной из этих плоскостей. Если (; ¯ ||, то изображение будет подобно оригиналу. Этот случай не представляет интереса для изучения.
Теорема 6. Пусть фигуры (;¯ и лежат в плоскостях (; ¯ и , которые пересекаются. Фигура (;¯ может служить изображением фигуры тогда и только тогда, когда эти фигуры аффинно-эквивалентны.
Доказательство. Пусть является изображением (;¯. Тогда получается из (;¯ в результате проекции f1:(; ¯ – и подобия f2: – . Каждое из отображений f1 и f2 является аффинным. Поэтому f2f1 – тоже аффинное отображение и =f2f1((;¯). Следовательно, (;¯ и аффинно-эквивалентны.
Обратно, пусть (;¯ и аффинно-эквивалентны и f:(; ¯ – – такое аффинное отображение, что =f((;¯). Нам нужно доказать, что это отображение является композицией проекции и подобия. Выберем на плоскости (; ¯ произвольный репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, C; ¯} так, чтобы A; ¯ и B; ¯ принадлежали линии пересечения плоскостей (; ¯ и . Пусть R = {A, B, C} – образ репера R; ¯ при отображении f.
Н а плоскости выберем точку Co так, чтобы ABCo был подобен треугольнику ABC. Пусть
f2: – есть подобие, которое переводит ABCo
в ABC. Пусть p;\s\up8(( ||\O(C; ¯, а f1:(; ¯ – есть проекция по направлению вектора p;\s\up8((.
Т огда f1, очевидно, оставляет точки A; ¯ и B; ¯ на месте, а точку C; ¯ переводит в точку Co. Тем самым, f1 переводит репер R; ¯ в репер R o= {A; ¯, B; ¯, Co} на плоскости . Следовательно, отображение f2f1:(; ¯ – переводит репер R; ¯ в репер R. Но отображение f тоже переводит репер R; ¯ в репер R. Согласно теореме 3 f=f2f1.
Теорему 6 можно переформулировать так: любое аффинное отображение f:(; ¯ – является композицией проекции и подобия, но только при условии, что плоскости (; ¯ и не параллельны.