Частные производные функции нескольких переменных
Частной производной
по
от функции
называется предел отношения частного
приращения
к приращению
при стремлении
к нулю.
Частная производная
по
от функции
обозначается одним из символов:
Таким образом, по определению,
Аналогично частная
производная по
от функции
определяется как предел отношения
частного приращения функции
к приращению
при стремлении
к нулю. Частная производная по
обозначается одним из символов:
Заметив, что вычисляется при неизменном а при неизменном мы можем определения частных производных сформулировать по-другому.
Частной производной по от функции называется производная по вычисленная в предположении, что постоянная.
Частной производной
по
от функции
называется производная по
вычисленная в предположении, что
постоянная.
Из этого определения ясно, что правила вычисления частных производных совпадают с правилами, указанными для функций одного переменного, и только требуется каждый раз помнить, по какому переменному ищется производная.
Пример 1.
Пример 2.
Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.
Пример 3.
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в следующем (смотрите соответствующий рисунок в предыдущей лекции):
где
угол между осью
и касательной в точке
к линии пересечения поверхности
и плоскости
где
угол между осью
и касательной в точке
к линии пересечения поверхности
и плоскости
Полный дифференциал функции двух переменных
По определению полного приращения функции имеем:
Предположим, что
в рассматриваемой точке
имеет непрерывные частные производные.
Выразим
через частные производные. Для этого
в правой части равенства
прибавим и вычтем
Выражение, стоящее
в первой квадратной скобке равенства
можно рассматривать как разность двух
значений функции одного переменного
(второй аргумент сохраняет одно и то
же значение
). Применяя к этой разности теорему
Лагранжа, получим:
где
заключено между
и
Выражение, стоящее во второй квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (значение остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:
где
заключено между
и
Внося выражения и в равенство получим:
Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то
(так как
и
заключены, соответственно, между
и
и
то при
и
и
стремятся, соответственно, к
и
Равенства можно переписать в виде:
где величины
и
стремятся к нулю, когда
и
стремятся к нулю (т.е. когда
).
В силу равенств
соотношение
принимает вид:
Сумма двух последних
слагаемых правой части является
бесконечно малой высшего порядка
относительно
Действительно, отношение
при
т.к.
является бесконечно малой величиной,
а
ограниченной
Аналогично проверяется, что
при
Сумма
первых двух слагаемых есть выражение
линейное относительно
и
При
и
это выражение представляет собой
главную часть приращения, отличаясь от
на бесконечно малую высшего порядка
относительно
Функция
полное приращение
которой в данной точке
может быть представлено в виде суммы
двух слагаемых: выражения, линейного
относительно
и
и величины бесконечно малой высшего
порядка относительно
называется дифференцируемой в данной
точке, а линейная часть приращения
называется полным дифференциалом и
обозначается через
или
Из равенства
следует, что если функция
имеет непрерывные частные производные
в данной точке, то она дифференцируема
в этой точке и имеет полный дифференциал
Равенство можно переписать в виде:
и с точностью до
бесконечно малых высшего порядка
относительно
можно написать следующее приближенное
равенство:
Приращения
независимых переменных
и
мы будем называть дифференциалами
независимых переменных
и
и обозначать, соответственно, через
и
Тогда выражение полного дифференциала
примет вид:
Т
аким
образом, если функция
имеет непрерывные частные производные,
то она дифференцируема в точке
и ее полный дифференциал равен сумме
произведений частных производных на
дифференциалы соответствующих независимых
переменных.
Пример. Найти
полный дифференциал и полное приращение
функции
в точке
при
Следовательно,
На рисунке дана иллюстрация к этому примеру.
Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа аргументов.
Лекция 25.