Частные производные, полная производная и полный дифференциал сложной функции нескольких переменных
Предположим,
что в уравнении
и
являются функциями независимых переменных
и
В этом случае есть сложная функция от аргументов и
Конечно, можно выразить и непосредственно через и а именно:
Предположим, что
функции
имеют непрерывные частные производные
по всем своим аргументам и поставим
задачу: вычислить
и
исходя из уравнений
и
и не пользуясь уравнением
Дадим
аргументу
приращение
сохраняя значение
неизменным. Тогда, в силу уравнений
и
получат приращения
и
Но если
и
получают приращения
и
то и функция
получит приращение
определяемое формулой:
где
и
при
и
Разделим
все члены этого равенства на
Если
то
и
(в силу непрерывности функций
и
Но тогда
и
тоже стремятся к нулю. Переходя к пределу
при
получим:
Если бы мы дали приращение переменному а оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы:
Для случая большего
числа переменных формулы
и
естественным образом обобщаются.
Например, если
есть функция четырех аргументов
а каждый из них зависит от
и
то формулы
и
принимают вид:
Если задана функция
где
в свою очередь зависят от одного
аргумента
то, по сути дела,
является функцией только одного
переменного
и можно ставить вопрос о нахождении
производной
Эта производная вычисляется по первой
из формул
но так
как
функции
только одного аргумента
то частные производные обращабтся в
обыкновенные, кроме того,
поэтому
Эта формула носит
название формулы для вычисления полной
производной
(в отличие от частной производной
).
Найдем далее полный
дифференциал сложной функции, определенной
равенствами
и
Подставим выражения
и
определенные равенствами
и
в формулу полного дифференциала:
Получаем:
Произведем следующие преобразования в правой части:
Но
Равенство с учетом равенств можно переписать так:
Сравнивая
и
можем сказать, что выражение полного
дифференциала функции нескольких
переменных (дифференциала первого
порядка) имеет тот же вид, т.е. форма
дифференциала первого порядка инвариантна,
являются ли
и
независимыми переменными или функциями
независимых переменных.
Производные от неявных функций
Начнем с неявной функции одного переменного. Мы уже решали задачу о дифференцировании неявной функции одного переменного, но были рассмотрены лишь отдельные примеры. Сейчас же мы получим общую формулу, дающую производную от неявной функции одного переменного, и выясним условия существования этой производной.
Теорема. Пусть
непрерывная неявная функция
от
задается уравнением:
где
непрерывные функции в некоторой области
содержащей точку
координаты которой удовлетворяют
уравнению
кроме того, в этой точке
Тогда функция
от
имеет производную:
Доказательство.
Пусть некоторому значению
соответствует значение функции
При этом
Дадим независимому переменному
приращение
Функция
получит приращение
т.е. значению аргумента
соответствует значение функции
В силу уравнения
будем иметь:
Следовательно,
Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением функции двух переменных, можно переписать так:
где и при и
Так как левая часть равна нулю, можно написать:
Разделим на
и вычислим
Устремим
к нулю. Тогда, учитывая, что при этом
и
также стремятся к нулю и что
в пределе получим:
Пример. Уравнение
определяет
как неявную функцию от
Здесь
Следовательно,
Рассмотрим теперь уравнение вида:
Если паре чисел
из некоторой области соответствует
одно или несколько значений
удовлетворяющих уравнению
то это уравнение неявно определяет одну
или несколько однозначных функций
от
и
Найдем частные
производные
и
неявной функции
от
и
определяемой уравнением
Когда мы ищем
мы считаем
постоянным, поэтому здесь применима
формула
если
только независимым переменным считать
а функцией
Следовательно,
Аналогично
Предполагается,
что
Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.