Вопросы для самопроверки:

1. Что такое э.д.с. источника электрической энергии?

2. Какие бывают источники э.д.с.?

3. Что такое резистор?

4. Сформулируйте закон Ома?

5. Чем определяется сопротивление электрических проводов?

6. Чему равно сопротивление двух последовательно включённых резисторов?

7. Чему равно сопротивление двух параллельно включённых резисторов?

8. Сформулируйте первый и второй закон Кирхгофа.

9. В чём состоит различие между источниками напряжения и тока?

10. Как преобразовать источник напряжения в источник тока и обратно?

11. Что такое линейная электрическая цепь?

12. В чём состоит принцип наложений (суперпозиций)?

13. Как можно использовать принцип наложений для расчёта электрических цепей?

14. Дайте определение коэффициенту передачи напряжения для четырёхполюсника.

15. Выведите формулу для коэффициента передачи делителя напряжений, состоящего из двух резисторов.

1.2. Переходные процессы в rc-цепях.

Как уже указывалось выше (см. рис.1.), э.д.с. может периодически изменяться во времени, что приводит к возникновению в электрических цепях переменного тока. В цепях переменного тока наряду с проводами и резисторами используют конденсаторы и катушки индуктивности.

Конденсатор – компонент электрической цепи, способный накапливать электрический заряд Q и электрическую энергию W_E. Основной параметр, характеризующий свойства конденсатора накапливать электрический заряд и энергию - ёмкость С. В электрических схемах конденсатор изображается

т ак: и обозначается буквой С. Приведённое изображение конденсатора отражает его простейшую конструкцию: две близко расположенные друг к другу одинаковые металлические пластины, между которыми располагается диэлектрик. В воздушном конденсаторе диэлектриком является воздух.

При подключении конденсатора к источнику постоянной э.д.с. Е он заряжается до напряжения U_C, равного э.д.с. источника: U_C=E. При этом в конденсаторе накапливается заряд Q, определяемый по формуле: Q=CU_C=CE.

Чтобы запомнить эту формулу можно использовать аналогию с цилиндрическим ведром с очень высокими стенками, наполняемому водой. При этом площадь донышка ведра S аналогична ёмкости конденсатора С, а высота верхнего уровня воды h - приложенному напряжению E. Площадь донышка ведра не зависит от того, есть ли в нём вода или нет. Это свойство самого ведра. Таким же образом ёмкость конденсатора не зависит от того, заряжен ли конденсатор. Заполнение ведра водой аналогично заряду конденсатора, поэтому объём воды в ведре будет аналогичен накопленному заряду в конденсаторе. Объём воды в ведре V равен площади донышка S, умноженному на высоту верхнего уровня воды: V=Sh. Соответственно заряд конденсатора равен: Q=CU_C.

Если к конденсатору приложить слишком большое напряжение, то он пробивается, т.е. через диэлектрик между пластинами пойдёт электрический ток. Это означает, что конденсатор теряет своё основное свойство накапливать электрический заряд. Пробой конденсатора аналогичен развалу ведра с очень высокими стенками в случае, если в ведро налить очень много воды. Чтобы не допускать пробоя конденсатора, на его корпусе кроме ёмкости указывается максимально допустимое напряжение.

К атушка индуктивности - компонент электрической цепи, способный преобразовывать электрическую энергию в магнитную и сохранять её при протекании через катушку электрического тока. В электрических схемах катушка индуктивности изображается так: и обозначается буквой L. В современных электронных устройствах по многим причинам стараются не использовать катушек индуктивности или, по крайней мере, свести их количество к минимуму. Можно ожидать, что электронные устройства будущего вообще не будут содержать катушек индуктивности. По этой причине мы не будем подробно останавливаться на их свойствах.

Рассмотрим более подробно свойства цепей, содержащих резисторы и конденсаторы, так называемые RC – цепи. Прежде всего заметим, что конденсатор может заряжаться или разряжаться, но через него не может проходить постоянный электрический ток (между пластинами конденсатора – диэлектрик!). В зависимости от места включения конденсатора в цепь с постоянной э.д.с., он может либо полностью исключить прохождение электрического тока, либо наоборот совсем не оказывать влияния на его величину. Например, в цепи, приведённой на рис.1.13, постоянного тока не будет, т.к. конденсатор зарядится до напряжения U_C=E. Поскольку э.д.с. источника и напряжение на конденсаторе компенсируют друг друга, ток через резистор отсутствует.

Р ис.1.13. Схема цепи постоянного тока, в которой конденсатор препятствует прохождению электрического токов в резистор.

В схеме, приведённой на рис.1.14, ток будет протекать, причём конденсатор не будет оказывать какое-либо влияние на его величину.

Рис.1.14. Схема цепи постоянного тока, в которой конденсатор не влияет на электрический ток.

Действительно I=E/(R₁+R₂). Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе R₂ и, следовательно, U_С=IR₂=ER₂/(R₁+R₂) . Конденсатор будет заряжен до напряжения U_C, но оказывать влияние на ток в цепи он не будет.

В рассмотренных нами примерах полагалось, что электрические цепи работают в установившемся стационарном режиме. Теперь положим, что электрическая цепь собрана с электрическим ключом (рис.1.15). Пример такого ключа – телеграфный ключ. В момент замыкания ключа в схеме возникнет переходной процесс.

Р ис.1.15. Схема RC-цепи с ключом и источником э.д.с.

Р ассмотрим этот переходный процесс. Замыкание ключа аналогично подаче на схему сигнала, имеющего форму скачка напряжения (рис.1.16).

Рис.1.16. Скачок напряжения.

Сущность происходящего в цепи после замыкания ключа отражает один из законов коммутации, который гласит: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, т.е. мгновенно. Понять этот закон нетрудно, вспомнив, что электрическая энергия, запасённая в конденсаторе W, равняется:

, где С – ёмкость конденсатора, U_С – напряжение на его выводах. Если бы напряжение на конденсаторе могло бы измениться мгновенно, то, как следует из приведённой формулы, скачком бы изменилась и электрическая энергия, т.е. источник энергии, от которого конденсатор бы заряжался мгновенно должен был бы иметь бесконечно большую мощность P: при Δt→0.

Поскольку подобных источников электрической энергии в природе не существует, напряжение на конденсаторе будет изменяться постепенно.

Приведённые соображения позволяют понять, какие процессы будут протекать в приведённой на рис.1.15 RC-цепи. В первый момент после замыкания ключа напряжение на конденсаторе останется равным нулю. При этом по закону Ома ток в цепи в начальный момент времени I(0) будет равен: I(0)=E/R. Этим током конденсатор в первый момент и будет заряжаться. Но по мере зарядки конденсатора на нём будет создаваться падение напряжения, противодействующее напряжению источника э.д.с.

Для того чтобы найти закон изменения напряжения в цепи и закон изменения напряжения на конденсаторе нужно вспомнить, что сила тока определяется как количество заряда, проходящего через сечение проводника в единицу времени: .

Отсюда заряд в конденсаторе можно определить по формуле: ,где I(t) – ток зарядки конденсатора, t_И – момент измерения.

Поскольку U_С=Q/C, получаем .

Второй закон Кирхгофа в рассматриваемой RC-цепи для любого момента времени t_И будет иметь следующий вид: . Решение этого уравнения даёт следующий результат: , где τ=RC – постоянная времени заряда конденсатора. График изменения тока от времени приведён на рис.1.17. а.

Р ис.1.17. Зависимость тока в RC-цепи и напряжения на конденсаторе от времени.

Изменения напряжения на конденсаторе U_C(t) будет происходить по закону: . График изменения напряжения на конденсаторе приведён на рис.1.17б. Эта зависимость называется переходной характеристикой цепи.

Предположим, что в схеме на рис.1.15 после достаточно долгого времени нахождение ключа в замкнутом состоянии, он размыкается. В этом случае, если считать конденсатор идеальным элементом напряжение на конденсаторе, равное Е, должно сохраняться бесконечно долго, т.к. цепь разряда конденсатора разомкнута. Однако конденсатор имеет хотя и большое, но конечное значение сопротивления утечки, шунтирующее, т.е. последовательно соединённое с ёмкостью конденсатора. Именно через это сопротивление напряжение на конденсаторе будет очень медленно разряжаться по экспоненциальному закону.

Анализ RC-цепей, содержащих один конденсатор, показывает, что всем им присущ экспоненциальный закон изменения токов и напряжений.

Рассмотрим наиболее типичные RC-цепи при воздействии на них импульсных сигналов.

1.2.1. Интегрирующие RC-цепи.

П ростейшая интегрирующая RC-цепь приведена на рис.1.18. Прямоугольный импульс (рис.1.19а) можно рассматривать как два скачка (две ступеньки) напряжения бесконечной длительности (рис.1.19б). Изменение напряжения на конденсаторе от действия одной ступеньки напряжения мы приводили выше. Две ступеньки напряжения дадут на выходе сигнал, форма которого приведена на рис.1.19в.

Рис.1.18.Схема интегрирующей RC-цепи.

Р ис.1.19.а) прямоугольный импульс,

б) представление прямоугольного импульса в виде двух ступенек

напряжения бесконечной длительности,

в) выходной импульс.

Цепь называется интегрирующей, т.к. напряжение на выходе снимается с конденсатора, которое в свою очередь есть интеграл от тока зарядки. Ток зарядки конденсатора в первый момент равен U_Г/R, т.е. в первый момент напряжение на выходе цепи, есть интеграл от входного напряжения. В последующие моменты времени ток будет уменьшаться и зависимость нарушается. Поэтому можно считать, что интегрирующая RC-цепь интегрирует входное напряжение лишь в первый момент времени.

Рассмотрим временные параметры интегрирующей RC-цепи, определяемые из переходной характеристики, при подаче на вход RC-цепи прямоугольного импульса напряжения (рис.1.20а). Поскольку напряжение на выходе цепи снимается с конденсатора, а по закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, напряжение на выходе должно постепенно изменяться во времени. Анализ показывает, что оно будет изменяться по экспоненциальному закону и определяться по формуле: , где RC=τ – постоянная времени цепи.

Р ис.1.20. Импульсы напряжения: а) на входе и б) на выходе интегрирующей RC-цепи.

Постоянную времени τ можно определить как время, в течение которого выходное напряжение достигает значения, отличающегося от установившегося на 1/e. Графический способ определения τ (из построенной переходной характеристики) показан на рис.1.20б.

Для характеристики импульсного процесса обычно используют параметр t_Ф – время нарастания фронта, который определяется как время, в течение которого напряжение на выходе изменяется от уровня 0,1U_ВЫХ до 0,9U_ВЫХ (рис.1.20,б). Для рассматриваемой RC-цепи t_Ф определиться по формуле: t_Ф=2,2τ.

И ногда в электронных цепях используют более сложные интегрирующие RC-цепи с дополнительными резисторами (рис.1.21).

Рис.1.21.Варианты интегрирующих RC-цепей.

Рассмотрим три варианта: а) R₁≠0, R₂=∞, б) R₁=0, R₂≠∞, в) R₁≠0, R₂≠∞.

Для случая а) схема будет иметь вид (рис.1.22).

Рис.1.22.Интегрирующая RC-цепь (вариант а) схемы на рис.1.21).

Скачок напряжения вызовёт ток в цепи, равный . Этот ток будет протекать по сопротивлению R₁ и вызовет на нём падение напряжения U_R1, равное . Напряжение на выходе складывается из напряжения на конденсаторе U_С и падения напряжения на сопротивлении R₁: U_ВЫХ=U_С+U_R1. Поскольку напряжение на конденсаторе в первый момент равно 0, напряжение на выходе будет равно , т.е. в первый момент на выходе возникнет скачок напряжения (рис.1.23). Затем будет происходить зарядка конденсатора по экспоненциальному закону с постоянной времени, равной τ₁=C(R+R₁) (по отношению к конденсатору резисторы R и R₁ включены последовательно, и их сопротивления складываются). Зарядка конденсатора будет происходить до тех пор, пока ток в цепи не прекратиться. При t=∞ U_ВЫХ(∞)=U_С(∞), а U_С(∞)=U_Г, т.е. U_ВЫХ(∞)=U_Г. В момент окончания прямоугольного импульса также возникает скачок напряжения, равный , а затем экспоненциальное уменьшение напряжения до нуля.

Р ис.1.23.Входной и выходной импульс для схемы на рис.1.22.

Д ля случая б) схема интегрирующей цепи представлена рис.1.24.

Рис.1.24.Интегрируюшая RC-цепь (вариант б) схемы на рис.1.21).

В первый момент скачка напряжения на выходе цепи не будет, т.к. выходное напряжение снимается с конденсатора, напряжение на котором скачком измениться не может (рис.1.25). В дальнейшем начнётся заряд конденсатора. По мере увеличения на нём напряжения, часть тока, протекающего через резистор R, будет ответвляться в резистор R₂. В итоге на конденсаторе установится напряжение, равное . Заряд конденсатора будет происходить по экспоненциальному закону с постоянной времени, равной τ₂=CRR₂/(R+R₂), поскольку по отношению к конденсатору резисторы R и R₂ включены параллельно. При отрицательном скачке напряжения переходной процесс будет развиваться аналогично.

Рис.1.25.Входной и выходной импульс для RC-цепи, приведённой на рис.1.24.

Д ля случая в) в первый момент возникнут токи в каждом из сопротивлений R, R₁ и R₂, что вызовет скачок напряжения на выходе. Эквивалентная схема для нахождения скачка напряжения в первый момент времени приведена на рис.1.26.

Рис.1.26.Эквивалентная схема для нахождения скачка напряжения в схеме на рис.1.21 в.

Схема имеет такой вид, т.к. напряжение на конденсаторе в первый момент равно 0 и его можно считать закороченным. Из приведённой эквивалентной схемы следует, что (см. расчёт схемы, приведённой на рис.1.9а).

В дальнейшем напряжение на конденсаторе будет изменяться по экспоненциальному закону. Напряжение на выходе будет равно U_R2 и будет стремиться к уровню (рис.1.27), т.к. при t=∞ ток через конденсатор протекать не будет. Постоянная времени изменения напряжения на выходе будет определяться постоянной времени изменения напряжения на конденсаторе, который будет заряжаться через резистор R₁ и параллельное сопротивление резисторов R и R₂: τ₁₂=C(R₁+RR₂/(R+R₂)).

Рис.1.27.Входной и выходной импульс для схемы на рис.1.21 (вариант в схемы на рис.1.21).