2.7.3. Изотермический процесс

Равновесный процесс будет происходить при постоянной темпера-туре, если он протекает настолько медленно, что температура вещества все время успевает сравняться с температурой внешней среды.

Рассмотрим изотермическое изменение объема идеального газа. Из первого закона термодинамики следует, что работа расширения (сжатия) идеального газа равна количеству получаемого (отдаваемого) тепла

(2.7.19)

(2.7.20)

т. к. внутренняя энергия газа при дает Из формул (2.7.19–2.7.20) видно, что работа идеального газа при изотер-мическом процессе не может производиться за счет внутренней энергии, т. к. во время процесса , а производится только за счет получаемого тепла. При этом, если газ расширяется , то он совершает положительную работу и, согласно равенству (2.7.19), получает от внешней среды такое же количество тепла . Если же внешние тела совершают работу над газом при его изотер-мическом сжатии то он отдает внешней среде такое же количество тепла Таким образом, при изотермическом расширении идеальный газ полностью преобразует получаемое тепло в совершаемую работу. Как будет показано в дальнейшем, для реального газа, молекулы которого взаимодействуют, только часть получаемого тепла преобразуется в работу, оставшаяся часть при расширении газа идет на преодоление сил притяжения между молекулами.

Нетрудно вычислить работу при изотермическом расширении идеаль-ного газа. Пусть исходное состояние газа имеет координаты Тогда из уравнения изотермы следует, что

(2.7.21)

Подставляя последнее соотношение в определение работы (2.4.5), полу-чим

(2.7.22)

Используя уравнение изотермы , нетрудно выражение для работы (2.7.22) представить в следующем виде:

. (2.7.23)

На основании соотношения (2.7.20) формулы (2.7.22–2.7.23) пригодны и для вычисления количества тепла, необходимого для изотермического расширения или сжатия идеального газа.

2.7.4. Адиабатный процесс.

Адиабатным называют такой процесс, в котором к системе не подво-дится тепло и от системы не отводится тепло. При адиабатном процессе должна быть обеспечена идеальная теплоизоляция от внешней среды, в отличие от изотермического процесса, требующего идеального тепло-вого контакта со средой. В реальных условиях процесс является адиа-батным, если система снабжена хорошей теплоизоляцией или если про-цесс протекает настолько быстро, что не происходит заметного тепло-обмена с внешней средой.

Из первого закона термодинамики следует, что при адиабатном про-цессе работа производится только за счет изменения внутренней энергии вещества:

. (2.7.24)

Соотношение (2.7.24) можно записать и в интегральной форме:

. (2.7.25)

Если вещество расширяется и совершает работу над внешними телами, то и, как следует из (2.7.25) , , т. е. внутренняя энергия вещества уменьшается. Это и понятно: в адиабат­ном процессе к системе нет притока теплоты извне и единственный источник энергии для совершения работы – это внутренняя энергия самой системы. Соотношения (2.7.24–2.7.25) справедливы для любых адиабатных процессов: равновесных или неравновесных, для любых веществ, находящихся в любых агрегатных состояниях, так как они являются следствием закона сохранения энергии.

Для идеального газа формула (2.7.24) приобретает вид:

(2.7.26)

Отсюда видно, что при адиабатном расширении газ охлаж-дается , а при адиабатном сжатии газ нагревается , хотя теплота при этом процессе не подводится и не отводится.

Проинтегрировав соотношение (2.7.26), найдем работу, совершаемую идеальным газом при адиабатном процессе.

(2.7.27)

Теплоемкость вынесена из-под интеграла, т. к. для идеального газа она не зависит от температуры.

Чтобы найти уравнение адиабаты в переменных подставим в формулу (2.7.26) вместо p его выражение из уравнения Менделеева –Клапейрона В результате будем иметь

(2.7.28)

Интегрирование последнего соотношения дает

(2.7.29)

Откуда находим

. (2.7.30)

Выразим величину через отношение теплоемкостей В результате будем иметь Подставив это значение в (2.7.30), получим

. (2.7.31)

Последнее соотношение есть уравнение адиабаты (уравнение Пуассона) в переменных T,V. Чтобы записать это уравнение в координатах p,V или T,p нужно произвести замену соответствующих переменных в (2.7.31), воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона. В результате получим еще два эквивалентных уравнения адиабаты:

(2.7.32)

(2.7.33)

Выражение для работы (2.7.27) можно записать иначе. Для этого урав­нение адиабаты (2.5.31) представим в виде:

. (2.7.34)

Отсюда находим

. (2.7.35)

Подставляя (2.7.35) в (2.7.27) и учитывая что

получим

. (2.7.35a)

Из уравнения Пуассона (2.7.32) следует, что давление идеального газа в адиабатном процессе убывает быстрее, чем в изотерми-ческом процессе , так как всегда и, таким обра-зом, . Физически это объясняется тем, что при адиабатном расши-рении давление газа уменьшается не только за счет уменьшения объема, но и по причине происходящего при этом понижении температуры. Поэтому и работа против меньшего внешнего давления ( для равновесного процесса) при адиабатном процессе будет меньше, чем работа против большего внешнего давле­ния при изотерми-ческом процессе. На рис. 29 работа расширения от объема до объема при адиабатном процессе равна площади фигуры , а при изотермическом – площади фигуры .

Р и с. 29

Наоборот, при адиабатном сжатии от объема до объема давление газа растет быстрее, чем при изотермическом процессе, так как при адиабатном процессе давление увеличивается не только за счет уменьшения объема, но и вследствие роста температуры газа. Поэтому и работа при адиабатическом сжатии, равная площади фигуры больше работы сжатия при изотермическом процессе, равной площади фигуры .

В заключение параграфа заметим, что согласно (2.7.25) изменение внутренней энергии при адиабатном процессе можно вычислять по формулам (2.7.27) и (2.7.27a).