4.2. Распределение длин свободного пробега молекул

Найдем функцию распределения длин свободного пробега молекул. Обозначим через вероятность того, что молекула пролетит расстояние l без столкновений. Тогда вероятность того, что молекула пролетит расстояние без столкновений, будет равна произведению вероятностей двух независимых событий: события, что молекула пролетит расстояние l без столкновений и события, что молекула пролетит расстояние без столкновений, т. е.

. (4.2.1)

Вероятность же соударения на пути dl, очевидно, пропорциональна dl

, (4.2.2)

где – коэффициент пропорциональности.

Вероятность же, что молекула пройдет расстояние без столкновения, очевидно, равна:

. (4.2.3)

Подставим (4.2.3) в (4.2.1). В результате будем иметь

. (4.2.4)

С другой стороны, разлагая функцию в ряд по степеням в точке l, получим:

. (4.2.5)

Из сравнения выражений (4.2.4 – 4.2.5), будем иметь:

. (4.2.6)

Проинтегрируем последнее уравнение.

, (4.2.7)

где lnb – произвольная постоянная. Из последнего соотношения находим

. (4.2.8)

Вероятность того, что молекула на расстоянии l испытывает столкновение, очевидно, равна

(4.2.9)

Функция , таким образом, представляет собой интегральную функцию распределения длин свободного пробега молекул. Для нахождения плотности вероятности необходимо продифференцировать (4.2.9) по переменной l (см. формулу (А. 20) прил. А):

(4.2.10)

Чтобы определить две произвольные постоянные, необходимо располагать двумя уравнениями. Первое из них – это условие нормировки для плотности вероятности w(l):

. (4.2.11)

Второе уравнение – это выражение для средней длины свободного пробега:

. (4.2.12)

Подставляя выражение (4.2.10) в (4.2.11), получим, что b = 1. Подставляя w(l) из (4.2.10) в (4.2.12) и интегрируя по частям, получим, что .

Таким образом, функция распределения длин свободного пробега молекул (формула Клаузиуса) примет вид:

. (4.2.13)

4.3. Рассеяние молекулярного пучка в газе. Экспериментальное определение средней длины свободного пробега

Предположим, что узкий пучок, состоящий из N₀ молекул, движется через газ в направлении оси X. Примем условие, что каждая частица пучка, сталкиваясь с молекулами газа, выбывает из пучка. Пусть в произвольный момент времени начала наблюдения в пучке было N молекул. Пройдя расстояние dx, молекулы пучка испытают Ndx/< λ > столкновений и выбудут из пучка. Поэтому

. (4.3.1)

Откуда находим

. (4.3.2)

Перепишем последнее соотношение в виде:

. (4.3.3)

Проинтегрируем левую часть равенства (4.3.3) в пределах от N₀ до N, а правую – от 0 до x:

. (4.3.4)

После интегрирования получим

. (4.3.5)

Таким образом, ослабление молекулярного пучка в газе происходит по экспоненциальному закону.

Формула (4.3.5) используется при экспериментальном определении средней длины свободного пробега молекул. Опыт М. Борна ставится следующим образом (рис. 59).

Р и с. 59

В сосуде, наполненном воздухом, имеются: источник 1 (печь), создающий поток атомов серебра, который, проходя систему диафрагм 2 с малыми отверстиями, превращается в узкий пучок, и стеклянной пластинки 3, на которой осаждалось серебро. Количество осадка пропорционально числу N атомов, падающих на пластинку 3. В сосуде с помощью насоса можно создавать любые заданные давления.

Сначала на одной из пластинок, находящейся на расстоянии x₁ от отверстия диафрагмы, в течение определенного промежутка времени осаждалось серебро. Затем осаждалось серебро на другой пластинке, расположенной на расстоянии x₂, в течение того же промежутка времени. Измеряя отношение N₂/N₁ по плотности осадка серебра на пластинках, нетрудно, используя формулу (4.3.5), определить среднюю длину свободного пробега атомов серебра

. (4.3.6)

Измерения величины , проведенные при различных давлениях и температурах, показали удовлетворительное согласие опытных данных с соответствующими расчетами, проведенными по формуле (4.1.10).