3.Алгебраический и векторный момент силы относительно точки (центра). Момент силы относительно оси и его связь с векторным моментом. Вектор-момент силы относительно центра (точки).

Сформулируем определение этого момента силы.

Вектором-моментом или просто моментом силы относительно центра (точки) является векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на саму силу (рис. 16):

(1)

С физической точки зрения вектор-момент лежит на оси LM, относительно которой вращательное действие силы максимально. Математически момент силы относительно центра полностью определяет линию действия силы. По определению векторного произведения он перпендикулярен к плоскости, где лежат центр и линия действия силы, а его конец показывает верх плоскости. Величина вектора-момента позволяет определить в этой плоскости кратчайшее расстояние h от центра до линии действия силы, которое называют плечом силы. В этом нетрудно убедиться, найдя модуль векторного произведения, равный m_O(F) = rF sin (r ^ F). Учитывая, что h = r sin (r ^ F) (рис. 16), получаем

(2)

Т аким образом, силу, как скользящий вектор, можно определить в системе координат проекциями векторов F и mO(F) на координатные оси. Проекции силы определяют ее величину и направление, а проекции момента - ее линию действия. Отметим, что среди этих шести параметров независимых только пять, так как проекции силы и момента силы связаны одним уравнением ортогональности этих векторов.

Свойство вектора-момента силы относительно центра. Здесь мы рассмотрим важное свойство этого момента силы.

Момент силы относительно центра зависит от выбора центра. Иными словами, момент силы относительно центра является связанным вектором, приложенным в центре, относительно которого он вычисляется.

Строгое доказательство свойства можно не проводить. Достаточно на рис. 16 выбрать новый центр O₁ и убедиться в том, что вектормомент изменится по величине и направлению. При выборе нового центра изменится расстояние до линии действия силы и величина вектора, изменится и направление вектора, который будет перпендикулярен уже плоскости треугольника O₁AB. То есть m_O1(F)   m_O(F).

Алгебраический момент силы относительно центра (точки).

Понятие алгебраического момента используется, когда силы лежат в одной плоскости и векторы-моменты сил перпендикулярны этой плоскости и направлены вверх или вниз под плоскость (рис. 17, a).

Операции со скалярными переменными значительно проще действий с векторами. Поэтому величинам векторов-моментов, направленных вверх от плоскости, присваивают знак "+", а величинам векторов, направленных вниз под плоскость, присваивают знак "-" . Если смотреть сверху на плоскость П (рис. 17, b), то знак "+" будут иметь моменты сил, которые стремятся повернуть тело вокруг точки A против хода часов, а знак "-" будут иметь моменты сил, стремящиеся повернуть тело по ходу часов. Следовательно,

(3)

По-прежнему, как и вектор-момент, алгебраический момент силы относительно центра указывает ось, относительно которой вращательное действие силы максимально. Он показывает верх плоскости, где лежат силы, и определяет положение линии действия через плечо силы h , которое равно длине перпендикуляра, восстановленного из центра к линии действия силы.

Таким образом, если силы лежат в одной плоскости, например XOY, то сила, как скользящий вектор, определяется тремя параметрами, два из которых - проекции силы на оси координат - определяют величину и направление силы, а третий - алгебраический момент силы относительно центра - определяет линию действия силы.

Очевидно, алгебраический момент, как и вектор-момент, зависит от выбора центра, относительно которого он вычисляется.