Момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси является алгебраический момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью(рис. 18).

На рисунке плоскость П перпендикулярна оси OZ, а вектор F_П - проекция силы на плоскость. В отличие от проекции силы на ось, которая является скалярной переменной, проекция силы на плоскость - вектор. По определению момента силы относительно оси мы можем записать, что

(4)

Когда проекция силы стремится повернуть тело вокруг оси против хода часов, смотря с конца оси, момент силы относительно оси имеет знак "+". В противном случае момент имеет знак "-".

Свойства момента силы относительно оси. Эти свойства часто используются при решении задач на произвольную систему сил.

Первое свойство. Момент силы относительно оси не зависит от выбора плоскости, на которую проектируется сила. Для доказательства свойства спроектируем силу на плоскость П' , которая также как и плоскость П перпендикулярна оси OZ (рис. 19). Так как эти плоскости взаимно параллельны, то величины проекций силы на плоскости будут равны F_П = F_П' . Равны и плечи сил h = h' , то есть m_Z (F) = m_O (F_П) = m_O' (F_П') , и свойство доказано.

Второе свойство. Если сила параллельна оси, то момент силы относительно оси равен нулю. Для доказательства построим силу F₁, параллельную осиOZ (рис. 19). Видим, что проекция силы на плоскость П равна нулю. Следовательно, и m_Z (F₁) = 0.

Третье свойство. Если сила пересекает ось, то момент силы относительно оси равен нулю. Построим силу F₂, которая пересекает ось OZ. Проектируя F₂ на плоскость П, видим, что h₂ = 0. Следовательно, и m_Z (F₂) = 0.

Объединяя второе и третье свойства в одно, можно сформулировать четвертое свойство.

Четвертое свойство. Если сила лежит в плоскости, содержащей ось, то момент силы относительно оси равен нулю.

Пятое свойство. Если сила лежит в плоскости перпендикулярной оси, то ее алгебраический момент относительно точки пересечения оси с плоскостью равен моменту силы относительно оси.

Свойство сразу следует из определения момента силы относительно оси. На рис. 19 показана сила F₃, лежащая в плоскости П, для которойm_O(F₃) = m_Z (F₃).

Связь между вектором-моментом силы относительно центра и моментом силы относительно оси.

Эта связь отражена в следующем утверждении.

Проекция на ось вектора-момента силы относительно центра на оси равна моменту силы относительно оси.

Математическая запись утверждения, например, для оси Z, имеет вид

(5)

где m_OZ(F) - проекция вектора m_O(F) на ось Z.

Докажем справедливость этого утверждения. На рис. 20 радиус-вектор r определяет положение точки приложения A силы F относительно центра O, через который проходит ось Z. По определению m_O(F) перпендикулярен плоскости треугольника OAB и, следовательно, его высоте h, которая является и плечом силы. Величина вектора m_O(F) = Fh = 2S_ΔOAB, а его проекция на ось Z равна

(6)

где α - угол между осью Z и вектором-моментом (рис. 20), а S_ΔOAB - площадь треугольника OAB. Величина момента силы относительно оси равна m_Z(F) = F_Пh' = 2S_ΔOA'B' . По рисунку видим, что _ΔOA'B' является проекцией _ΔOAB на плоскость П. Из геометрии известно, что S_ΔOA'B' = S_ΔOAB cosβ, где β - угол между плоскостями треугольников, равный углу между их высотами h и h'. Учитывая последнее равенство, получим

(7)

Н о m_O(F) перпендикулярен h, а OZ перпендикулярна h'. Поэтому углы между осью и вектором-моментом и между высотами треугольников равны. При α = β равны правые части равенств (6) и (7), следовательно, равны и левые части, то есть m_OZ(F) = m_Z(F) , и утверждение доказано.

Достроим к оси OZ две оси системы координат с началом в центре O. Проведя аналогичные доказательства для осей OX и OY, установим связь между проекциями вектора-момента силы относительно центра и моментами силы относительно осей системы координат с началом в центре:

(8)

На практике вычисление момента силы относительно оси значительно проще нахождения проекции вектора-момента, когда по правилу векторного произведения нужно получить вектор-момент, а затем проектировать его на ось. Поэтому и введено понятие момента силы относительно оси и доказана связь между вектором-моментом и моментом относительно оси, которую мы рассмотрели в этом пункте.

Таким образом, силу, как скользящий вектор, удобнее всего определить шестью параметрами (F_X, F_Y, F_Z, m_X(F), m_Y(F), m_Z(F)) . Ранее мы показали, что среди них только пять независимых между собой параметров. Первые три из них - проекции силы на оси координат - определяют величину и направление силы, а моменты силы относительно осей координат определяют линию действия силы.

Понятие момента, впервые введенное в статике для силы, оказалось эффективным и для векторов иной физической природы, и для любых связанных и скользящих векторов. Поэтому понятие момента широко используется в механике и в физике и для других векторов, например, момент количества движения, а в математике понятие момента вектора является основой теории связанных и скользящих векторов.