48. Формула для вычисления вер-ти того, что случайная величина кот. Подлежит норм. Закону распред., принимает значения из интервала (a, b)
Вероятность
попадания случайной величины Х,
распределенной по нормальному закону,
в интервал
,
равна
,
Где
,
;
( Функция распределения случайной
величины Х, распределенной по нормальному
закону, выражается через функцию Лапласа
Ф(х) по формуле:
).
□
Учитывая,
что вероятность
есть приращение функции распределения
на отрезке
и
учитывая формулу
получим:
.
49. Сформулируйте првило трех сигм.
При рассм нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. Запишем в-ть того что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:
Если
принять D
= 3s,
то получаем с использованием таблиц
значений функции Лапласа:
Т.е. в-ть того что случайная величина отклонится от своего мат\ожидания на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Это правило называется правилом трех сигм.На практике считается, что если для какой – либо сл\величины выполняется правило трех сигм, то эта сл\величина имеет нормальное распределение.
Системы случайных величин
50.Определение понятия системы случайных величин.
Очень
часто результат испытания характеризуется
не одной Случ.Велич. а некоторой системой
случайных величин
,
которую называют также многомерной
(n-мерной) случайной величиной
или случайным
вектором
Х = (
).
Приведем
примеры многомерных случайных величин.
Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой n случайных величин - оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.
Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин:
- температура;
- влажность;
- давление;
- скорость ветра и т.п.
Любая
СВ
(i = 1,2,...,n) есть функция элементарных
событий ω, входящих в пространство
элементарных событий Ω (
).
Поэтому и многомерная
случайная величина есть функция
элементарных событий ω:
т.е.
каждому элементарному событию ω ставится
в соответствие несколько действительных
чисел
,
которые приняли случайные величины
в результате испытания. В этом случае
вектор х = (
)
называется реализацией
случайного
вектора Х = (
).
Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными (см. выше пример 1), так и непрерывными (пример 2).
51. Закон распределения и функция распределения двух случ величин.
Н
аиболее
полным описанием многомерной СВ является
закон
ее распределения.
При конечном множестве возможных
значений многомерной СВ такой закон
может быть задан в форме таблицы
(матрицы), содержащей всевозможные
сочетания значений каждой из одномерных
случайных величин, входящих в систему,
и соответствующие им вероятности. Так,
если рассматривается двумерная
дискретная случайная величина (X,Y),
то ее двумерное распределение можно
представить в виде таблицы (матрицы)
распределения (табл. 5.1), в каждой клетке
(i,j)
которой располагаются вероятности
произведения событий
.
Так
как события
(i
= 1,2,...,n; j = 1,2,...,m),
состоящие в том, что СВ Х примет значение
,
а СВ Y
- значение
,
несовместны и единственно возможны,
т.е. образуют полную группу, то сумма их
вероятностей равна единице, т.е.:
Функцией распределения системы двух сл\в наз ф-я двух аргументов F(x, y), равная в-ти совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.
Свойства функции распределения системы двух сл\в:
1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то ф-я распр системы стремится к ф-ии распр одной сл\в, соответствующей другому аргументу.
2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то ф-я распр системы стремится к 1.
3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности ф-я распр стремится к 0.
4) Ф-я распр является неубывающей функцией по каждому аргументу.
5) В-ть попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:
52.П лотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случ. величины.
Плотность
совместного распределения вероятностей
непрерывной двумерной
случайной величины (
, 
)
– это вторая смешанная частная производная
от функции распределения 
:
.
Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле:
что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).
Плотность
совместного распределения
вероятностей
можно
рассматривать как предел отношения
вероятности попадания случайной точки
в прямоугольник (с вершиной в точке 
и
сторонами 
и 
)
к площади этого прямоугольника, когда
обе стороны этого прямоугольника
стремятся к нулю.
Действительно,
вероятность попадания случайной точки
(
,
)
в прямоугольник с вершинами
, 
, 
и 
равна:
Применив к правой части теорему Лагранжа, получим:
где 
; 
.
Отсюда:
