- •Определение производной. Ее физический смысл. Определение дифференцируемой функции. Сформулировать теорему о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
- •Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали
- •Теорема о дифференцировании суммы, произведении, частного (доказать для суммы).
- •Сформулировать теорему о дифференцировании обратной функции
- •Дифференцирование основных элементарных функций.
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование параметрически заданных функций.
- •Понятие дифференциала функции, его формы записи.
- •Геометрический смысл и свойства дифференциала.
- •Производные высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически
- •Сформулировать теоремы Ролля и Коши. Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •Теорема Лагранжа. Ее геометрический смысл. Сформулировать следствия из теоремы Лагранжа.
- •Определения возрастающей, убывающей, монотонной функции. Сформулировать необходимое условие монотонности функции. Достаточное условие монотонности функции.
- •Определения точек максимума, минимума и экстремума функции. Сформулировать необходимое условие экстремума. Критические точки.
- •Достаточное условие экстремума
- •Определение точки перегиба графика функции. Необходимое условие точки перегиба
- •Определение
- •Определение точек, «подозрительных на перегиб». Достаточное условие точки перегиба
- •Определение асимптоты графика функции. Виды асимптот. Уравнения асимптот
- •Определение первообразной. Сформулировать теоремы о существовании первообразной и о виде первообразной
- •Неопределенный интеграл. Его свойства. Таблица неопределенных интегралов
- •Метод подведения под знак дифференциала и замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование простых дробей
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Понятие определенного интеграла. Его свойства
- •Интеграл с переменным верхним пределом. Сформулировать теорему Барроу. Формула Ньютона-Лейбница Интеграл с переменным верхним пределом
- •Способы вычисления определенного интеграла: интегрирование по частям, замена переменной, интеграл, взятый по симметричному интервалу
- •Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат
- •Вычисление длины кривой
Определение производной. Ее физический смысл. Определение дифференцируемой функции. Сформулировать теорему о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Производная — основное понятие дифференциального исчесления, характеризующее скорость изменения функции.
Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием
Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S= f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение х. Функция получит приращение у. Найдем .
.
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.
Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.
Пример. у=|х| , х0=0.
х>0, ;
х<0, .
В точке х0=0 функция непрерывна, но производной не существует.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 , f ( x0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’( x0 ) имеет вид:
y = f ’( x0 ) · x + b .
Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,
отсюда, b = f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной:
y = f ( x0 ) + f ’( x0 ) · ( x – x0 ) .
Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x0; y0) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением
|
что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.
В случае бесконечной производной касательная в точке x0 становится вертикальной и задается уравнением x = x0, а нормаль – горизонтальной: y = y0.