21. Определение асимптоты графика функции. Виды асимптот. Уравнения асимптот

Асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

        Определение 7.1   Вертикальной асимптотой графика функции   называется вертикальная прямая  , если   или   при каком-либо из условий:  ,  ,  . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка   принадлежала области определения функции  , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки:   или  , где  .    

 Определение 7.2   Наклонной асимптотой графика функции   при   называется прямая  , если выполнены два условия:  1) некоторый луч   целиком содержится в  ;  2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при  :

Уравнения асимптот: 

22. Определение первообразной. Сформулировать теоремы о существовании первообразной и о виде первообразной

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

 (теорема существования) Любая непрерывная на X функция имеет первообразную F(x) на X:

Функция на X может иметь бесконечно много первообразных. Так, для первообразной является F(x) =

23. Неопределенный интеграл. Его свойства. Таблица неопределенных интегралов

 Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом  . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то  , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. 

2.  (или  ).

24. Метод подведения под знак дифференциала и замены переменной

∫  U(x) · v(x) dx   =   ∫  U(x) · V'(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) .

Такого рода преобразование называется подведением под знак дифференциала, поскольку функция v(x) исчезает в интегрируемом выражении и появляется под знаком дифференциала в виде своей первообразной V(x).

дним из главных способов преобразования неопределенных интегралов к табличным является метод замены переменной. Он имеет два варианта. Первый вариант используется после подведения под знак дифференциала, когда имеется равенство

∫  U(x) · V'(x) dx   =   ∫  U(x)  dV(x) .

Если функция U(x) выражается через функцию V(x) по некоторой формуле U(x) = w(V(x)), то

∫  U(x)  dV(x)   =   ∫  w(V(x)) dV(x)   =   ∫  w(t) dt

где t = V(x). Таким образом отыскание исходного интеграла сводится к отысканию интеграла

∫  w(t) dt

В нем функция t = V(x) выступает как независимая переменная, т.е. произошла замена переменной. Новая переменная t вводится как функция исходной переменной x. Не требуется, чтобы соответствие между x и t было взаимно однозначным.

Во втором варианте метода замены переменной новая переменная t вводится равенством x = (t). Функция (t) называется подстановкой. Она взаимно однозначна, т.е. имеет обратную. Этот метод основывается на следующей теореме.