3. Транспонирование матриц

Определение. Матрицу А^Т называют транспонированной матрицей А, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы А^Т.(т.е. строки матрицы А заменены на столбцы и наоборот)

А = ; А^Т= ;

Пример: Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ; A^TB =  = = ;

C = ; А^ТВ+С = + = .

Пример: Даны матрицы А = и В = . Найти произведение матриц АВ и ВА.

АВ =  = .

ВА =  = (21 + 44 + 13) = (2 + 16 + 3) = (21).

Пример: Найти произведение матриц А= , В =

АВ =  = = .

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование

4. Обратная матрица

Определение: Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если

.

Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Общий подход к нахождению обратной матрицы.

Рассмотрим на примере, как найти обратную матрицу .

Пусть

1. Найти определитель матрицы

.

Так как , то обратная матрица существует.

2) Сформировать матрицу из алгебраических дополнений каждого элемента матрицы.

если - четное число,

если - нечетное число.

3. Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений.

.

3. Обратная матрица : определяется формулой

,

.

Свойства обратных матриц:

1. (A^-1)^-1 = A;

2. (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Приложения.

Приложение 1

Побитовые операторы

Здесь предлагается более расширенное представление о побитовых операциях, исползуемых в Javascript.

1. Формат 32-битного целого числа со знаком

2. Список операторов

3. Разбор операторов

   1. & (побитовое И)

   2. | (Побитовое ИЛИ)

   3. ^ (Исключающее ИЛИ)

   4. ~ (Побитовое НЕ)

   5. Операторы битового сдвига

      1. << (Левый сдвиг)

      2. >> (Правый сдвиг, переносящий знак)

      3. >>> (Правый сдвиг с заполнением нулями)

4. Применение побитовых операторов

   1. Маска

   2. Маски в функциях

   3. Округление

   4. Проверка на -1

5. Итого

Побитовые операторы интерпретируют операнды как последовательность из 32 битов (нулей и единиц). Они производят операции, используя двоичное представление числа, и возвращают новую последовательность из 32 бит (число) в качестве результата.

1. Формат 32-битного целого числа со знаком

Операнды всех побитовых операндов интерпретируются как 32-битные целые числа со знаком, старшим битом слева и дополнением до двойки. Дробная часть, если она есть, отбрасывается.

Разберём это определение подробнее.

Что такое двоичная система счисления, вам, надеюсь, уже известно.

«Старший бит слева» — означает, что числа записываются справа налево, самый значимый бит (битовая позиция с самым большим значением) находится на крайнем левом месте.

Как правило, мы пишем двоичные числа именно таким образом — справа-налево. ** Например:

1	a = 0;  // 00000000000000000000000000000000
2	a = 1;  // 00000000000000000000000000000001

3	a = 2;  // 00000000000000000000000000000010
4	a = 3;  // 00000000000000000000000000000011

5	a = 255;// 00000000000000000000000011111111

Обратите внимание, каждая последовательность состоит ровно из 32-битов.

«Дополнение до двойки» — это название способа поддержки отрицательных чисел.

Двоичный вид числа, обратного данному (например, 5 и -5) получается путём обращения (двоичного НЕ) всех битов с прибавлением 1.

Например, вот число 314:

00000000000000000000000100111010

Чтобы получить -314, первый шаг — обратить биты числа: заменить 0 на 1, а 1 на 0:

11111111111111111111111011000101

Второй шаг — к полученному двоичному числу приплюсовать единицу, обычным двоичным сложением. Это повлияет только на правую часть: 11111111111111111111111011000101 + 1 = 11111111111111111111111011000110, так что получится:

-314 = 11111111111111111111111011000110

Принцип дополнения до двойки делит все двоичные представления на два множества: если крайний-левый бит равен 0 — число положительное, если 1 — число отрицательное. Поэтому этот бит называется знаковым битом.