- •Параметрические уравнения
- •Гладкие кривые
- •Nurbs-кривая. Контрольные точки.
- •3.1 Контрольные точки
- •3.2 Базовые функции
- •3.3. Узлы. Характеристика семейства базовых функций.
- •3.4. Рациональные кривые
- •Кривая Безье – формулы и принципы построения
- •Свойства кривых Безье
- •4.2 Канонический вид кривой Безье
- •Изменение формы кривой. Соединение нескольких секторов.
- •1. Кривые Безье
- •Виды кривых Безье
- •2. Математика
- •Рисование «де Кастельжо»
- •Кубические сплайны Эрмита (определение)
Тема: Представление кривых линий в КГ
Параметрические уравнения
Кривые можно представлять аналитически, как график функции и графически. Аналитически это записывают так: y = f(x), что означает " у – это функция, значение которой зависит от значения х. Например, простейшая функция у = 2х означает простую зависимость: каждое значение у в два раза больше любого значения х. График этой функции есть прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 1.1).
Более сложный вид представляют собой тригонометрические функции, например синусоида: у = sin х
График такой кривой известен каждому (рис. 1.2).
Рис. 1.1 График функции у = 2х
Рис. 1.2. График функции у = sinx
Такой способ представления функции, и ее графическое изображение называют явным. Он позволяет относительно просто построить график. Однако у этого способа с точки зрения графического представления имеются существенные недостатки.
Каждому значению х соответствует только одно значение у. Это не дает возможности начинать новый фрагмент кривой в произвольном месте.
Кривая не может быть замкнутой.
В результате явный способ представления нельзя применять там, где требуется описание произвольных кривых, размещаемых в произвольных местах плоскости.
Другой способ - определение кривой как параметрической функции.
У такого способа обе координаты (х и у) равноправны, потому что каждую из них вычисляют как функции некоторого вспомогательного параметра, обозначаемого, часто символом t. В общем случае такая зависимость получает вид:
q(t) = {x(t), y(t)},
где х(t) и y(t) – функции параметра t.
Задавая одинаковые значения параметра t, функция x(t) вычисляет значения координаты х, а функция y(t) – значения координаты у. Это очень важная особенность задания функции.
Пример – как можно понимать термин «параметр»
Можно представить, что значения параметра t – это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается точка в различные моменты (значения) времени t. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.
Второе важное качество параметрических кривых состоит в том, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.
Другой пример применения и понимания параметра. Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции
x(t) = cost
y(t) = sint
создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.
Справка из вики с добавками. Параметрическое представление функции – это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных. Такие переменные принято называть "параметрами". Если мы располагаем двумя переменными, например, по оси х и по оси у, то зависимость между ними можно рассматривать как уравнение плоской кривой. Например, координаты х и у точек этой кривой определяются некоторым параметром, скажем, величиной t. Величину t определяют как некоторый диапазон непрерывных или дискретных значений, в пределах которого для данной задачи существует эта функция. В трехмерной графике параметр вводится точно также, и представление пространственных кривых через посредство параметра t обеспечивает более простой способ графического их изображения.
Применение параметрических функций делает возможным применять в КГ более сложные функции и стыковать в гладкие кривые. Их визуализация – это некоторая геометрическая модель, для которой находят последовательность отдельных точек. Точки затем необходимо соединить, т.е. выполнить графическую аппроксимацию в межточечном пространстве. Если она линейная, то точки соединяют отрезками прямых и получают кривую с угловыми изгибами - некоторое грубое приближение к той кривой, что имеется в действительности. Кривая будет лишена ГЛАДКОСТИ или впечатления гладкости. Требуется неизбежная замена прямолинейных сегментов кривыми, которые способны обеспечить необходимую гладкость. До решения такой задачи потребуется более точно определить понятие гладкости.