6. Суть методу: Якщо — основна матриця системи, — вектор-стовпчик вільних членів, — вектор-стовпчик невідомих; то має місце рівність:

Якщо матриця   є квадратною та невиродженою, то для неї існує обернена матриця. Помноживши обидві частини рівняння зліва на  , отримаємо .

оскільки   та  , то отримаємо формулу:

7. Метод Жорданна-Гаусса.

Розв’язання рівнянь методом Г-Ж здійснюється за допомогою розрахункової таблиці в яку записують коофіцієнти при невідомих, стовпчики вільних членів і контрольний стовпчик.

В контрольний стовпчик 1-ого стовбця записують сумму елементів по рядках. Елементи контрольного стовпчика 2-ого і наступних таблиць продовжують за правилом прямокутника. Контроль здійснюють так: якщо скма елементів рядка, крім останньго дорівнює останньму елементу, то обчислення зроблене вірно.

Розв’язування продовжується доки ми не отримаємо стільки одиночних векторів, скількі залишилося рівнянь.

8. В геометрії , система координат являє собою систему, яка використовує один або кілька номерів , або координати, щоб однозначно визначити положення точки або інших геометричних елементів на колектор , таких як евклідів простір . Порядок координати є значним і іноді вони ідентифікуються з їхньої позиції в упорядкований набір , а іноді і в листі, як в "Х-координаті. У елементарної математики координати вважаються речовими числами , але може бути і комплексними числами або елементами більш абстрактної системи, такі яккоммутативное кільце . Використання системи координат дозволяє проблеми в геометрії повинні бути переведені на проблеми про числах і навпаки, це є основою аналітичної геометрії .

Вектором називають напрямлений відрізок. А – початок вектора, В- кінець вектора. Вектор позначається a або AB. Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що зображає вектор. Абсолютна величина вектора a позначається |a|.

Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Рівні вектори однаково напрямлені і рівні за абсолютною величиною. Координатами

 вектора a називають числа a₁ = x₂ - x₁, a₂ = y₂ - y₁, де A₁(x₁, y₁), A₂(x₂, y₂) - кінці вектора a.

Рівні вектори мають рівні відповідні координати. Якщо у векторів координати рівні, то вектори рівні.

Сумою векторів a i b з координатами (a₁, a₂) і (b₁, b₂) називається вектор с з координатами (a₁ + b₁, a₂ + b₂), тобто a(a₁, a₂) + b(b₁, b₂) = c(a₁ + b₁, a₂ + b₂). Різницею векторів a і b з координатами (a₁, a₂) і (b₁, b₂) називається вектор с з координатами (a₁-b₁, a₂-b₂), тобто 

a(a₁, a₂) - b(b₁, b₂) = c(a₁ - b₁, a₂ - b₂). Добутком вектора a на число λ називається вектор с з координатами (λa₁, λa₂), тобто λa(a₁, a₂) = c(λa₁, λa₂). Абсолютна величина вектора λa дорівнює |λ||a|. Напрям вектора λa, збігається з напрямом вектора a, якщо λ > 0, і протилежний напряму вектора a, якщо λ < 0. Два вектора називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні.

Скалярним добутком векторів a(a₁, a₂) i b(b₁, b₂) називається число a₁b₁ + a₂b₂. Кутом між ненульовими векторами AB i AC називається кут BAC. Кутом між будь-якими двома векторами a i b називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Кут між однаково напрямленими векторами дорівнює нулю. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними: a•b = |a|•|b|•cos φ. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

9. Визначення. Площина - це поверхня, яка повністю містить, кожну пряму, що з'єднує будь-які її точки. Рівняння площини: - Загальне рівняння площини; - Рівняння площини в відрізках; - Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно вектору нормалі; - Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій. Загальне рівняння площини: Будь-яку площину можна задати рівнянням площини першого ступеня вигляду A x + B y + C z + D = 0, де A, B і C не можуть одночасно дорівнювати нулю. Рівняння площини в відрізках. Якщо площина перетинає осі OX, OY і OZ в точках з координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) і (0, 0, с), то вона може бути знайдена, якщо використати формулу рівняння площини в відрізках

x	+	y	+	z	= 1
a		b		c

Рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярно вектору нормалі. Щоб скласти рівняння площини, за координатами точки площини M(x0, y0, z0) і вектора нормалі площини n = {A; B; C} можна використати наступну формулу. A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Рівняння площини, що проходить через три задані точки, які не лежать на одній прямій. Якщо задані координати трьох точок A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) і C(x3, y3, z3), які лежать на площині, то рівняння площини можна знайти за наступною формулою

x - x1	y - y1	z - z1	= 0
x2 - x1	y2 - y1	z2 - z1
x3 - x1	y3 - y1	z3 - z1

10. Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі ко­ординат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат. Доведення. Геометричне будь-яку площину в просторі XYZ можна задати за допомогою вектора , перпендикуляр­ного до цієї площини, і точки M₀ (x₀, y₀, z₀), Через яку проходить дана площина. Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли Тоді ; Оскільки то скалярний добуток мо­жна записати у вигляді А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0, Або

Ах + By + Cz - (Aх₀ + Ву₀ + Cz₀) = 0. (1). Позначивши - (AX₀ + Ву₀ + Cz₀) = D дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня: Ах + By + Cz + D = О, (2) Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних коорди­натах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить. Через точкуу M₀ (х₀, у₀, z₀) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему. Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня Ax + By + Cz + D = 0, (3), де А, В, С і D — довільні дійсні чи­сла; х, у, z — поточні координата, визначає в декартовій прямокут­ній системі координат площину. Доведення. Доберемо трійку чисел (х₀, y₀> z₀), які задоволь­няють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х₀ і у₀візьмемо довільно, а третє z₀ знайдемо з рівняння (3). Тоді , Ах₀ + Ву₀ + Cz₀ + D = 0. (4) Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо А(х – х₀) + В(у – у₀) + C(z – z₀) = 0. (5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до векто­ра = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M₀ (х₀, у₀, z₀). Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рів­няння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини. Рівняння ; = 0 (6) називається векторним рівнянням площини.:Якщо у загальному рівнянні площини покласти z – z₀ = 0, то ді­станемо рівняння, А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0,

Або Ах + By + С = 0, (7), де С = - (Ax₀ + Ву₀). Рівняння ( 7) називається загальним рів­нянням прямої, що лежить у площині хОу. Дослідження загального рівняння площини. Розглянемо загальне рівняння площини . Ах + Вy + Cz + D = 0. (8) де А, В, С і D — довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля. Дослідимо окремі випадки цього рівняння. Якщо D = О, то рівняння (8) набирає вигляду; Ах + By + Cz = 0. (9).Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат. Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд: By + Cz + D = О (10) і визначає площину, нормальний вектор якої = (О, В, С) перпен­дикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz. Якщо А = В = 0, а С 0, то маємо рівняння площини, пара­лельної хОу: Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координат­ні площини yOz, xOz, хОу.

11. Еліпс - геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких сума відстаней до двох даних точок F ₁ і F ₂ (Званих фокусами) постійна і більше відстані між фокусами, тобто: | F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a, причому | F ₁ F ₂ | <2 a. Окружність є окремим випадком еліпса. Поряд з гіперболою і параболою, еліпс є конічним перетином і квадриків. Еліпс також можна описати як перетин площині і кругового циліндра або як ортогональну проекцію кола на площину. Властивості: - Пряма, проведена через середини відрізків, відсічених двома паралельними прямими, що перетинають еліпс, завжди буде проходити через центр еліпса. Це дозволяє  побудовою за допомогою циркуля і лінійки легко отримати центр еліпса, а надалі осі, вершини і фокуси; - Точки перетину еліпса з осями є його вершинами; - Еліпс також можна описати як: 1. ортогональну проекцію  кола на площину; 2. Перетин площині і кругового циліндра Канонічне рівняння еліпса може бути параметризовані: де   - Параметр рівняння. Площа еліпса обчислюється за формулою: Площа сегмента між дугою, опуклою вліво, і хордою, що проходить через точки   і 

Якщо еліпс заданий рівнянням A x ² + B x y + C y ² = 1 , То площу можна визначити за формулою

 .

12. Гіпербола - геометричне місце точок M Евклідової площини, для яких абсолютне значення різниці відстаней від M до двох виділених точок F ₁ і F ₂ (Званих фокусами) постійно. Точніше,  причому | F ₁ F ₂ |> 2 a> 0. Поряд з еліпсом  і параболою, гіпербола є конічним перетином і квадриків. Гіпербола може бути визначена як конічний перетин з ексцентриситетом, великим одиниці. - Гіпербола складається з двох окремих кривих, які називають гілками. - Найближчі один до одного точки двох гілок гіперболи називаються вершинами. - Найкоротша відстань між двома гілками гіперболи називається великий віссю гіперболи. - Середина великий осі називається центром гіперболи. - Відстань від центру гіперболи до однієї з вершин називається велика піввісь гіперболи. 1. Зазвичай позначається a.

- Відстань від центру гіперболи до одного з фокусів називається фокальним відстанню. 1. Зазвичай позначається c.

- Обидва фокуса гіперболи лежать на продовженні великої осі на однаковій відстані від центру гіперболи. Пряма, що містить велику вісь гіперболи, називаєтьсядійсною чи поперечною віссю гіперболи. - Пряма, перпендикулярна дійсної осі і проходить через її центр називається уявною або сполученої віссю гіперболи. - Відрізок між фокусом гіперболи і гіперболою, перпендикулярний її дійсної осі, називається фокальним параметром. - Відстань від фокуса до асимптоти гіперболи називається прицільним параметром. 1. Зазвичай позначається b. - У завданнях, пов'язаних з рухом тіл по гіперболічним траєкторіях відстань від фокуса до найближчої вершини гіперболи називається періцентріческім відстанню. 1. Зазвичай позначається r _p ..

13. Парабола - геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямий і даної точки. Поряд з еліпсом і гіперболою, парабола є конічним перетином. Вона може бути визначена як конічний перетин з одиничним ексцентриситетом.

Канонічне рівняння параболи в прямокутної системі координат :

 (Або 

• Парабола - крива другого порядку.

• Вона має вісь симетрії, званої віссю параболи. Вісь проходить через фокус і перпендикулярна директрисі.

• Оптичне властивість. Пучок променів, паралельних осі параболи, відбиваючись у параболі, збирається в її фокусі. І навпаки, світло від джерела, що знаходиться у фокусі, відображається параболою в пучок паралельних її осі променів.

• Для параболи   фокус знаходиться в точці (0,25; 0).

Для параболи   фокус знаходиться в точці (0; f).

• Якщо фокус параболи відобразити щодо дотичній, то його образ буде лежати на директрисі.

• Парабола є антіподерой прямий.

• Всі параболи подібні. Відстань між фокусом і директрисою визначає масштаб.

• При обертанні параболи навколо осі симетрії виходить еліптичний параболоїд.