47. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для x[a;b], то

48. Дугою кола називається частина кола, укладена між двома її точками. Її можна позначити як AСB, де A і B — її кінці. Довжину дуги можна виразити через тиснучу хорду, радіус кола і кут між радіусами, проведеними до кінців хорди. 1. Нехай ACB — дуга кола, R — її радіус, O — центр окружності. Відрізки OB і OC будуть радіусами кола. Нехай кут між ними дорівнює α. Тоді ACB = Rα, де кут α виражений в радіанах, — довжина дуги кола. Якщо кут α виражений в градусах, то довжина дуги кола дорівнює: ACB = R * pi * α/180. 1. Хорда AB стягує дугу AСB. Нехай відома довжина хорди AB і кут α між радіусами OA і OB. Трикутник AOB — рівнобедрений, оскільки OA = OB = R. 2. Висота OE в трикутнику AOB одночасно є його бісектрисою і медіаною. Отже, кут AOE = AOB / 2 = α / 2, а AE = BE = AB / 2. Розгляньте трикутник AEO. Так як OE — висота, то він прямокутний (кут AOE — прямий). AO — його гіпотенуза, а AE — його катет. Звідси, R = OA = (AB / 2) / sin (α / 2). Отже, ACB = (AB / 2) / sin (α / 2) * pi * α/180

51. Поверхня обертання - це поверхня, утворена при обертанні навколо прямої довільної лінії. Наприклад, якщо пряма перетинає вісь обертання, то при її обертанні вийде конічна поверхня, якщо паралельна осі - циліндрична, якщо схрещується з віссю - однопорожниннігіперболоїд обертання. Одна і та ж поверхня може бути отримана обертанням найрізноманітніших кривих.

Площа поверхні обертання, утвореної обертанням плоскої кривої кінцевої довжини навколо осі, що лежить в площині кривої, але не перетинає криву, дорівнює добутку довжини кривої на довжину кола з радіусом, рівним відстані від осі до центру мас кривої. Це твердження називається другою теоремою Гюльдена, або теоремою Паппа про центроїда. Площа поверхні дорівнює

 . Означення.  Площею поверхні, яка утворюється обертанням незамкненої спрямлюваної кривої   навколо осі   називають границю , якщо вона існує і не залежить від розбиття відрізка   на частини при умові, що найбільша довжина   дуги   прямує до 0. Наприклад, для тора з радіусами   ,

Площа поверхні обертання, утвореної обертанням кривої   навколо осі   можна обчислити за формулою

Площа поверхні обертання, утвореної обертанням кривої   навколо осі   можна обчислити за формулою

Для випадку, коли крива задана в полярній системі координат   дійсна формула

51. Позначимо через D деякий безліч точок в п-мірному просторі.  Якщо задано закон f , В силу якого кожній точці М (х   ;...; Х   )    D ставиться у відповідність число і, то говорять, що на безлічі D визначена функція і = f (х   ;...;Х   ).  Безліч точок М (х   ;...; Х   ), Для яких функція і = f (х   ;...; Х   ) Визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають D (f).  Функції багатьох змінних можна позначати одним символом і = f (М), вказуючи розмірність простору, якому належить точка М.  Функції двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні.  Графіком функції двох змінних z = f (х; у) у прямокутній системі координат Оху називається геометричне місце точок у тривимірному просторі, координати яких (х; у; z) задовольняють рівнянню z = f (х; у).  Позначимо через   (М; М   ) Відстань між точками М і М   . Якщо п = 2, М (х; у), М   (Х   ; У   ), То   (М; М   ) =   .  У п-мірному просторі   (М; М   ) =   .  Нехай на множині D задано функцію і = f (М).  Число А називається границею функції і = f (М) в точці М   , Якщо для довільного числа   > 0 знайдеться таке число   > 0, що для всіх точок М    D, які задовольняють умові 0 <   (М; М   ) <   , Виконується нерівність   .  Властивості границь функції однієї змінної зберігаються і для функцій багатьох змінних, тобто якщо функції f (М) і g (М) мають в точці М   кінцеві межі, то  1.   = З   ,          2.   =   ,  3.   =   .  4.   якщо   .  Зауважимо, що якщо межа   існує, то він не повинен залежати від шляху, по якому точка М прагне до точки М   .  Функція і = f (М) називається безперервної в точці М   , Якщо   = F (М   ).  Функція і = f (М) називається безперервної на безлічі D, якщо вона неперервна в кожній точці М   D.         Точки, в яких безперервність функції порушується, називаються точками розриву функція. Точки розриву можуть бути ізольованими, створювати лінії розриву, поверхні розриву і т. д. Наприклад, функція z =   має розрив в точці (0; 0), а функція z =   має розрив на параболі    

52. В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.

Як і звичні похідні, часткова похідна означається як границя. Нехай U — відкрита підмножина функції Rⁿ та f: U → R. Частковою похідною функції f в точці a = (a₁, ..., a_n) ∈ U за i-ю змінною x_i є

Навіть якщо всі часткові похідні ∂f/∂x_i(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, тоf є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C¹. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : U → R^m), покомпонентно вибираючи аргумент.

Часткову похідну   можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C²; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

54. Задача Коші — одна з основних задач теорії диференціальних рівнянь полягає в пошуку розв'язку (інтеграла) диференціального рівняння, що задовольняє початковим умовам (початковим даним). Задача Коші зазвичай виникає при аналізі процесів, обумовлених диференціальним законом і початковим станом, математичним виразом яких і є рівняння та початкова умова (звідси й термінологія та вибір позначень: початкові дані задаються при  , а розв'язок знаходиться при  ). Від крайових задач задача Коші відрізняється тим, що область, в якій повинен бути визначений шуканий розв'язок, тут заздалегідь не вказується. Проте, задачу Коші можна розглядати як одну з крайових задач. Основні питання, що позв'язані з задачею Коші, такі:

1. Чи існує (хоч би локально) розв'язок задачі Коші?

2. Якщо розв'язок існує, то яка область його існування?

3. Чи існує єдиний розв'язок?

4. Якщо розв'язок єдиний, то чи буде він коректним, тобто неперервним (в якому-небудь сенсі) щодо початкових даних? Різні постановки задачі Коші

- Звичайне диференціальне рівняння першого порядку, розвязане відносно похідної

- Система   звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, розв'язана відносно похідних (нормальна система  -го порядку)

- Звичайне диференціальне рівняння  -го порядку, розв'язане відносно старшої похідної 

Диференціальні рівняння.

1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розвязки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁(х)=0 і У₁(у)=0.

2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розвязуються за допомогою підстановки y=ux (u – нова функція).

3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y+b(x)y+c(x)=0

можна розвязати за допомогою підстановки y=uv,

де u – не нульовий розвязок однорідного рівняння

a(x)y+b(x)y=0, а v – нова функція.

4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо y=f(x), то загальний розвязок:

;

б) якщо y=f(у), то загальний інтеграл:

;

в) якщо y=f(у), то загальний інтеграл рівняння можна

21

знайти з співвідношення: , де у=р.

5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:

а) якщо у=f(x, y), то приймаючи у=р(х), отримуємо:

;

б) якщо у=f(у, y), то приймаючи у=р(у), отримуємо:

.

6. Загальний розвязок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у+р(х)у+q(x)y=0 має вигляд

у=С₁у₁+С₂у₂,

де у₁ і у₂ – лінійно незалежні частинні розвязки.

7. Загальний розвязок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:

у+р(х)у+q(x)y=f(x) має вигляд ,

де - загальний розвязок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розвязок даного неоднорідного рівняння.

8. Таблиця 1.

Загальний вигляд розвязків однорідного рівняння у+ру+qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k²+pk+q=0.

22

(a>0,a1); d(ln u)=

4) d(sin u)=cos u du; 10) d(arctg u)= ;

5) d(cos u)= -sin u du; 11) d(arcctg u)=

6) d(tg u)= 12) df(u)=f(u)du.

15.Малий приріст диференційованої функції:

f(x+∆x)-f(x)f(x)∆x

16. Диференціал другого порядку функції у=f(x), де х - незалежна змінна (d²x)=0:

d²y=у''dx².

55. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0

має загальний інтеграл: (1)

Особливі розвязки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х₁(х)=0 і У₁(у)=0.

56. . Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:

P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0,

де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розвязуються за допомогою підстановки y=ux (u – нова функція).

57. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:

a(x)y+b(x)y+c(x)=0

можна розвязати за допомогою підстановки y=uv,

де u – не нульовий розвязок однорідного рівняння

a(x)y+b(x)y=0, а v – нова функція.