- •Задача 4 а. Однофакторное уравнение регрессии первого порядка
- •5.3. Проверка однофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.
- •Типовая задача (вариант № 30).
- •4. Создадим матрицу моделирования на базе рсп для , проведём вспомогательные расчёты для построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка (таблица 4) (см. Раздел а, п. 5).
- •5.2. Проверим однофакторное уравнение регрессии первого порядка на адекватность по критерию Фишера (результаты расчёта внести в таблицу 4).
- •Б. Уравнение регрессии второго порядка
- •; Откуда
- •Типовая задача
5.3. Проверка однофакторного уравнения регрессии первого порядка на адекватность.
Дисперсия адекватности и число её степеней свободы для однофакторного уравнения регрессии первого порядка равны:
, (22)
, (23)
где n – число дублей в каждом опыте; ‑ остаточная сумма квадратов; ‑ расчетные значения параметра Y, полученные по однофакторному уравнению регрессии первого порядка ( ), в котором оставлены только значимые коэффициенты; N ‑ число опытов; В ‑ число значимых коэффициентов однофакторного уравнения регрессии первого порядка.
Адекватность уравнения регрессии, которое характеризуется с числом степеней свободы и с числом степеней свободы , проверяется по критерию Фишера:
‑ экспериментальное значение критерия Фишера Fэ, (отношение большей выборочной дисперсии к меньшей):
, (24)
‑ табличное значение критерия Фишера , где ‑ число степеней свободы большей дисперсии, ‑ число степеней свободы меньшей дисперсии, выбирается из таблицы Приложения 4;
‑ критерий адекватности уравнения регрессии (равносильно критерию однородности 2-х дисперсий на однородность):
‑ уравнение регрессии с доверительной вероятностью р адекватно, то есть , если:
, (25)
‑ уравнение с доверительной вероятностью р неадекватно ( ), если:
. (26)
6.4. Предельная абсолютная погрешность параметра Y(Х1), рассчитанного по однофакторному уравнению регрессии первого порядка , в случае его адекватности определяется по формуле:
, (27)
где ‑ табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы и доверительной вероятности р находится из таблицы Приложения 2.
6. Если полученное однофакторное уравнение регрессии первого порядка неадекватно, следует перейти к построению уравнению регрессии второго порядка.
Типовая задача (вариант № 30).
Цель: Освоить методы моделирования и оптимизации однофакторных стохастических систем.
Формулировка задачи. Зерно, собранное комбайном в поле, имеет влажность 30 %. На току при естественной сушке зерно высыхает до влажности 20 %. Однако для долгосрочного хранения зерна на элеваторе зерно должно иметь влажность 14 %. До этой влажности зерно доводят в специальных сушилах, теплоносителем в которых является горячий воздух.
Важнейшим параметром, характеризующим эффективность работы сушила, является удельный расход энергии (энергия на тонну высушенного зерна). При прочих равных условиях удельный расход энергии (параметр Y, кВтч/т) зависит от температуры теплоносителя (фактор х1,С ). В данной задаче изучалась зависимость удельного расхода энергии Y от температуры теплоносителя х1, которая варьировалась в диапазоне: С.
Математическая формулировка задачи: 1) построить адекватное уравнение регрессии, отражающее зависимость удельного расхода энергии (параметр Y, кВтч/т) от температуры воздуха (фактор х1 С); 2) рассчитать оптимальное значение фактора х1(С), при котором удельный расход энергии Y будет минимальным.
Моделирование изучаемой системы начнем с построения однофакторного уравнения регрессии первого порядка. В качестве плана эксперимента возьмем РСП с числом опытов и числом дублей . Результаты эксперимента представлены в таблице 1.
Таблица 1. ‑ Экспериментальные данные для РСП.
N |
х1j, С |
Yj1, кВтч/т |
Yj2, кВтч/т |
Yj3, кВтч/т |
Yj4, кВтч/т |
1 |
60 |
73.5 |
75.3 |
73.5 |
74.1 |
2 |
75 |
60.4 |
60.2 |
63.7 |
61.5 |
3 |
90 |
55.4 |
59.0 |
58.8 |
54.8 |
4 |
105 |
54.8 |
55.5 |
54.3 |
51.9 |
5 |
120 |
59.7 |
62.5 |
57.9 |
57.8 |
План решения задачи.
1. Внимательно прочитать условия задачи.
2. Выполнить переход от натуральных значений фактора х1 к нормированным Х1.
3. Создать матрицу планирования эксперимента и выполнить предварительную обработку экспериментальных данных.
4. Создать матрицу моделирования и рассчитать коэффициенты .
5. Произвести статистическую оценку качества полученного однофакторного уравнения регрессии первого порядка (значимость коэффициентов регрессии, адекватность уравнения регрессии).
6. Принять решение о дальнейшем пути исследования изучаемого объекта.
NB!!! Все предварительные расчёты проводить до минимум 4-х значащих цифр.
Решение задачи согласно плану.
1. Пункт плана 1 выполнить самостоятельно.
2. Уровни и интервал варьирования фактора, а также формулы перевода натуральных x1 в нормированные X1 и обратно приведены в таблице 2 (см. уравнения (1) – (4)).
Таблица 2. – Уровни и интервал варьирования фактора x1 (X1).
Факторы |
1-й фактор (семена) |
|
x1, С |
X1 |
|
Нижний уровень |
x1 max = 120 |
+ 1 |
Верхний уровень |
x1 min = 60 |
‑ 1 |
Основной уровень |
x10 = 90 |
0 |
Интервал варьирования |
x1 = 30 |
|
Формулы перевода натуральных x1 в нормированные X1 и обратно |
; |
3. Создадим матрицу планирования на базе равномерного симметричного плана (РСП), внесём в неё экспериментальные данные из таблицы 1 и проведём предварительную обработку экспериментальных данных (таблица 3) (см. раздел А, п. 3).
Таблица 3. – Матрица планирования на базе РСП для ,
и результаты предварительной обработки данных
N |
|
Yj1,кВтч/т |
Yj2,кВтч/т |
Yj3,кВтч/т |
Yj4,кВтч/т |
|
|
1 |
60 |
73.5 |
75.3 |
73.5 |
74.1 |
74.10 |
0.7200 |
2 |
75 |
60.4 |
60.2 |
63.7 |
61.5 |
61.45 |
2.5767 |
3 |
90 |
55.4 |
59.0 |
58.8 |
54.8 |
57.00 |
4.8800 |
4 |
105 |
54.8 |
55.5 |
54.3 |
51.9 |
54.13 |
2.4425 |
5 |
120 |
59.7 |
62.5 |
57.9 |
57.8 |
59.48 |
4.8292 |
|
|
|
|
|
3.1. Методика эксперимента. Для повышения точности определения параметра эксперимент проводится в сушиле, оборудованном средствами автоматизации для поддержания основного фактора ‑ температуры теплоносителя (воздух) ( ) на требуемом уровне с точностью С. Другие факторы, такие как объёмный расход воздуха, влажность воздуха, линейная скорость воздуха относительно зерна, также измеряются датчиками и помощью средств автоматизации поддерживаются на фиксированных уровнях. Влажность высушенного зерна поддерживалась на требуемом уровне %. Если влажность зерна становилась больше 14 %, то скорость конвейерной ленты соответственно увеличивалась, если влажность зерна становилась меньше 14 %, то скорость конвейерной ленты соответственно уменьшалась. Каждые 2 ч по счетчику электроэнергии с относительной погрешностью 0.1 % определялась величина электроэнергии, затраченной на проведение эксперимента (энергия на подогрев воздуха; энергия компрессора на обдув зерна воздухом; энергия двигателя на движение конвейерной ленты). За этот же период времени измерялась масса высушенного зерна с относительной погрешностью 0.1 %. Параметр определялся как отношение затраченной электроэнергии (кВтч) за 2 часа к массе высушенного зерна (т) за этот же период. Таким образом, за одну смену (8 ч) при заданной температуре теплоносителя параметр определялся 4 раза ( . Полностью определение зависимости параметра от температуры теплоносителя осуществлялась за 5 дней ( ) при температурах 60, 75, 90, 105 и 120 С.
3.2. Проведем предварительную обработку экспериментальных данных (результаты расчета внести в таблицу 3).
Выборочное среднее в каждом опыте (см. уравнение (6)):
, .
Например, выборочное среднее в третьем опыте ( ):
.
Выборочная дисперсия в каждом опыте (см. уравнение (7)):
, .
Например, выборочная дисперсия в третьем опыте ( ):
.
Однородность выборочных дисперсий по критерию Кохрена (см. уравнения (8)):
‑ экспериментальное значение критерия Кохрена Gэ :
;
‑ табличное значение критерия Кохрена при , и доверительной вероятности р = 0.95 выбирается из таблицы Приложения 5:
.
Вывод: выборочные дисперсии однородны, так как (см. уравнение (9)).
Дисперсия воспроизводимости и её число степеней свободы (см. уравнение (11) – (12)):
,
.