13. Решение уравнений, сис-мы линейных и нелинейных урав-й в среде mathcad

f1(X) : =

f1(X) solve X

float - кол-во разрядов после запятой

Решение сис-м линейных уравнений

Ах=В;

|A|>E, где Е-мало

F(X)=0 ; solve

Для решения этого уравн-я можно исп-ть lsolve(A,B) в этом случае прим-ся числ-е методы решения ,кот. принебльших значениях опред-ля матрицы А могут дать решения.

Поиск корня нелинейного уравнения

Для этого примен-ся фун-ция root(выражение,имя перем-ой)

f (X) : = x^2 + sin(X)

X : = 3 {начальное приближение}

Y : = root( f(X);X) y= - 0.8777 f (g)=0.000997

Для решения одного уравнения надо построить график фун-ции и найти начальное приближение

Функция root может отыскать и комплексные корни

P(X)- полином,нашли решение Х1

Р1(Х)= Р(Х) / (Х-Х1)

Р1(Х)---если эти корни комплексные,то ф-ция root может найти компл.корни. Для поиска всех корней полинома Р(Х) можно исп-ть ф-цию polyroots(V) ,где V- вектор

V- (n+1) – размерности

V: { V0,V1,…..Vn} где Vi – козфф-ты при i- той степени

Решение систем уравнений

Для этого исп-ся блок с директивой Given, имеющий следующую стр0ру:

Пример Начальные условия задаем

Given< уравнения

Ограничения

Выражения с фун-циями Find,Minnerr,Maximize.

Пример: Н.У.: Х : =1, У: =3

Given Х-2У+3=0

Х^4—2X^2 –y +1=0

{= жирное рав-во из панели Boolean}

X>1 y>1

X1 : = Find (X,y) X1 = 1.585

Y1 Y1= 2.292

Пример

Y : = -8

Given

Y^3+ 5 y^2 + 8 y +35 = 0

Y1 : = Minner(y) – эта функция тоже решает

Y1 : = -4.841

14.Приведение к системе дифференциальных уравнений сау, заданной передаточной функцией.

W (p)- перед.ф-ция сис-мы h ( t) – переходная ф-ция

L { h(t) } =W(p) \ p = H(p) – изображение перех.ф-ции Лапласа.

H (p) | invlaplace p рез-т (1- е^{-2 t} (cos 3t) )

| float,3

h(t) : = скопировать рез-т

15. Решение дифф.Уравнений в среде mathcad.Построение переходного процесса сау

В среде MATHCAD имеется программы для численного решения сис-мы дифф. Ур-ий методом Рунге-Кутта Рассм-им приведение дифф.ур-я n-го порядка к сис-ме дифф. ур-й.

y ⁽ⁿ⁾ =f (t,y,y ’,y’ ’… y ^n-1)

y=x1 y ‘ = x2 y’ ‘ =x3 y ^n-1 = xn y ⁽ⁿ⁾ = x n =f ( t, x1,x2, xn )

| x1=x2

| x2=x3 получили сис-му ур-й

| x n =f ( t, x1,x2, xn )

Если дифф.ур-е имеет вид:

a0 y ⁽ⁿ⁾ +a1 y ^n-1 +…an-1 y¹ +an =b0 U^(m)+…bm-1 U¹ + bm U⁰

| x = A x + b U

| y = C x + d U

0 1 0 … 0

A= 0 0 1 …0

-an -an-1…a1

пример

x\E = 3\ p px=3E x = 3(g(t) – y(t))

0E=g y ^3p+1\p+1 =a+(b\ p+1)

3p+1=ap+a+b

p0 | a+b=1 b=1-a= - 2

p | 3=a

3- (2\h+1) =( 3p+3-2)\ p+1 =(3p+1)\ p+1

a=3 b=- - 2

Пример

(3p+1)\ p+1=3-(2 \ (p+1))

-2 \ p+1 =x2 \ x1 -2 x1 = px2+x2

x2+x2= -2x1

x2=-2x1+x2 y=3x1+x2

E =g - y=g - 3x1-x2

x1=3E = 3(g – 3x1 – x2)

x1 = - 9 x1 – 3x2+3g

x2= - 2x1+x2

Программы для реализации дифф-х урав-й

Rkfixed(x,x1,x2,n,F) (с фиксир-м шагом)

х-переменное состояние; х1,х2—интервал изменений переменной от х1 до х2

n-число шагов F- вектор правых частей сис-мы диф.уравн-й

Bkadapt(x,x1,x2,n,F)—адаптивный метод Рунге-Кутта.Вэтом методе шаг интегрир-я явл-ся переменным и зависит от скорости изменений правых частей F

Μ μ = -1

х= 0 - {начальные условия}

1

Д ( t 1, x) : = | μ x0 – x1 { (x 0) ^2+(x 1) ^2} x 0 |

| μ x1 + x 0 - { (x 0) ^2 + ( x1) ^ 2 } x1 |

z : = r xfixed ( x , 0 ,20, 100 , D ) n : = 0 …99

n t x0 x1

0 0 0 1

z =, 1 0.02 -0.25 0.8

2 0.04 -0.1 0.7

3 0.06 –0.15 0.5

фазовая траектория

Процессы во времени:

H = (x1-x2) \ n = 20 – 0 \ 100 = 0.2

H h => t реальное время