2.2. Представление колебаний рядами по системе ортогональных функций.

Спектральный и корреляционный анализ.

Колебание u(t) (сообщение, сигнал, помеху) с ограниченной энергией можно аппроксимировать при помощи взвешенной линейной комбинации базисных функций :

(2.20)

где - коэффициенты в аппроксимации u(t). Эти коэффициенты определяются из условия min ошибки аппроксимации, как

и (2.21)

При этом необходимо выполнение условия ортогональности

, при i ¹ j. (2.22)

и ортонормированности базисных функций

(2.23)

Разложение называется обобщенным рядом Фурье.

Рассмотренный для сообщений ряд Котельникова и другие, например, известное представление нестационарного речевого сигнала ограниченными по времени и спектру вейвлетами являются частным случаем обобщенного ряда Фурье. Для эффективного сжатия сообщения необходим минимум членов ряда (2.20).

Если u(t) не равно 0 на интервале 0≤ t≤ Т, то это колебание может быть аппроксимировано тригонометрическим рядом Фурье

, (2.24)

где коэффициенты в аппроксимации

;

; (2.25)

Для четной u(t)→b_n=0.

Амплитудный и фазовый линейчатые спектры при тригонометрическом представлении расположены в области положительных частот рис. 2.10а,б, в частности, например, для периодических видеоимпульсов рис. 2.10г.

г)

Рис. 2.10. Спектры тригонометрического и комплексного рядов Фурье.

.

Если колебание u(t) имеет ограниченную полосу частот до F_В, то количество спектральных составляющих (бесконечных по времени гармоник) будет, как и для ряда Котельникова, равно

(2.26)

и определяет число степеней свободы сигнала (базу сигнала).

Для комплексного ряда Фурье

(2.27)

комплексный амплитудный спектр

(2.28)

расположен в обеих областях частот, например, для периодических сигналов 2.10в.

Геометрическое представление колебаний.

Если колебания u_a(t) и u_b(t) представлены в виде рядов Фурье

;

то в n - мерном евклидовом пространстве этим колебаниям можно сопоставить вектора и . Модуль каждого из этих векторов соответственно равен

; , (2.29)

а расстояние между концами векторов равно (Евклидова метрика)

(2.30)

Эта величина характеризует степень различия между этими 2-мя колебаниями.

В случае двухмерного векторного пространства можно изобразить эти векторы графически рис. 2.11.

Рис.2.11. Геометрическое представление колебаний.

Разностный вектор (расстояние между векторами) равен.

Спектральная плотность амплитуд (СПА) непериодических сигналов может быть получена из (2.28) при Т→ ∞ и является комплексной функцией частоты, например, для одиночного видеоимпульса рис. 2.10г

, [В/Гц], (2.31)

где обратное преобразование Фурье

(2.32)

Свойства пары преобразования Фурье:

1. Теорема запаздывания для u₂(t)= u₁(t- t_с)

(2.33-1)

2. Теорема линейности

(2.33-2)

3. Теорема смещения

(2.33-3)

4.Изменение масштаба времени, u₂(t)= u₁(bt), b>0 (при b>1 сжатие исходного сигнала)

)2.33-4)

Пример: Найти СПА гармонического сигнала u(t) = cosω₀t

Подставляя в (2.31) u(t) и формулу Эйлера , получим

.

На основании известного интеграла получим СП

S(ω)=π[δ(ω-ω₀)+ δ(ω+ω₀)], (2.34))

Рис.2.12. СПА сигнала u(t) = cosω₀t.

СПА действительного гармонического сигнала расположена на частотах ±ω₀, симметричных относительно 0.

Наряду со спектральным анализом важен корреляционный анализ скорости изменения сигналов во временной области.

Корреляционный анализ. Для детерминированного финитного по t сигнала автокорреляционная функция (АКФ) равна (рис.2.13):

(2.35)

где B(0)=E²∙τ [дж, на R=1Oм] , B(τ) = B(-τ)

Рис.2.13. АКФ финитного по t сигнала.

Для периодического детерминированного сигнала

.

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) двух сигналов равна

(2.36)

АКФ для непериодического детерминированного и случайного сигнала определена энергетическим спектром (спектральной плотностью мощности (СПМ)) сигнала G(ω) [В²·С/Гц], через обратное преобразование Фурье

, (2.37)

где прямое преобразование Фурье (СПМ) равно

. (2.38)

Для случайного стационарного процесса х(t) СПМ G_х(ω) определена прямым преобразованием Винера-Хинчина

, (Вт/Гц) (2.39)

где , (2.40)

K_x(0) – средняя мощность процесса.