- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Признаки сходимости последовательностей.
- •5.Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9. Непрерывность функции в точке.
- •10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
- •11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
- •13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции.
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •16.Производные и дифференциалы высших порядков.
- •17.Производные основных элементарных функций.
- •18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
- •19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
- •20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
- •21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
- •24. Предел функции нескольких переменных.
- •25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
- •26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- •27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
- •28.Сложная функция двух переменных ее производная.
- •29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
5.Определение функции. Способы задания функции.
Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция .
Основные свойства функции:
Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если .
Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого .
Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .
Способы задания функций:
1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Функция задана аналитически.
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции .
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .
6.Классификация основных элементарных функций.
Основные элементарные функции:
Степенная функция: , , .
Показательная функция: .
Логарифмическая функция: .
Тригонометрические функции , , , .
Обратные тригонометрические функции: , , , .
Классификация функций:
Алгебраические (целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, иррациональная функция).
Неалгебраические (трансцендентные).
Преобразование графиков:
График функции есть график функции , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно оси .
График функции есть график функции , сдвинутый (при вверх, при вниз) на единиц параллельно оси .
График функции , есть график функции , растянутый (при ) в раз или сжатый (при ) вдоль оси .
График функции , есть график функции , сжатый (при ) в раз или растянутый (при ) вдоль оси .
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле: , если - рационально; , если - иррационально.
Пример. Построить график функции преобразованием графика функции или .
1. Строим график .
2. График функции есть график функции , сжатый в 2 раза.
3. График функции есть график функции , сдвинутый на влево.
4. График функции есть график функции , растянутый в 1,5 раза.