Действия над комплексными числами

• Сравнение

 означает, что   и   (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

17 решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Решаешь точно также, как и с положительными. Только корень из дискриминанта при подстановки будет немного другим: Допустим, D=-9 -9=-1*9 корень из дискриминанта  3i x1=(-b+3i)/2a x2=(-b-3i)/2a i-корень из минус единицы. Тоесть берете корень из модуля этого числа, вычисляете его и умножаете его на i(корень из минус единицы) Удачи! С Наступившим! Если что непонятно, пишите =) Добавлено: допустим вот пример: x^2+x+2=0 D=-7 x1=-1+(i*корень из 7)/2 x2=-1-(i*корень из 7)/2 i -квадратный корень из минус единицы. Отпишись, если непонятно. Если что - объясню или дам ссылку =)

18 модуль и аргумент комплексного числа

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается |a + bi|, а также буквой r. Из чертежа (фиг. 5) видно, что

 (1)

М одуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа а + bi и a - bi имеют один и тот же модуль. Примеры. 1. Модуль комплексного числа 3 + 5i (т.е. длина вектора ОА, фиг. 4) равен  2. 3. 4. Модуль числа – 7 (т.е. -7 + 0i) есть длина вектора ОМ (фиг. 4). Эта длина выражается положительным числом 7, т.е. 5. Модуль числа – 4i (длина вектора ON, фиг. 4) равен 4. 6. Модуль числа – 6 – 2i (длина вектора ОС, фиг. 4) равен   Модуль числа – 6 + 2i (длина вектора OC' фиг. 4) также равен  . Два сопряженных комплексных числа всегда имеют равные модули. Угол φ между осью абсцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число а + bi, называется аргументом комплексного числа а + bi. На фиг. 6 вектор OM изображает комплексное число -3 -3i. Угол   являемся аргументом этого комплексного числа. Каждое не равное нулю комплексное число* имеет бесчисленное множество аргументов, отличающихся от друга на целое число полных оборотов (т. е. на 360°k где k — любое целое число). Так, аргументами комплексного числа – 3 – 3i являются все углы вида 225° ± 360°k, например 225° + 360° = 585°, 225° - 360° = - 135°. Аргумент φ связан с координатами комплексного числа а + bi следующими формулами (фиг. 5):

, (1)     , (2)      (3)

Однако ни одна из них в отдельности не позволяет найти аргумент по абсциссе и ординате (см. примеры). Пример 1.Найти аргумент комплексного числа - 3 – 3i. П о формуле (2)tgφ = -3/-3 = 1. Этому условию удовлетворяют как угол 45˚, так и угол 225˚. Но угол 45˚ не является аргументом числа - 3 – 3i. (фиг. 6). Правильный ответ будет φ = 225˚ (или —135˚, или 585˚ т. д.). Этот результат получится если учесть, что абсцисса и ордината данного комплексного числа отрицательны. Значит, точка M лежит в третьей четверти. Другой способ. По формуле (3) находим  Формула (4) показывает, что sin φ тоже отрицателен. Значит, угол φ принадлежит третьей четверти, так что φ = 225˚ ± 360˚k. Пример 2. Найти аргумент комплексного числа - 2 + 6i. Находим tg φ = 6/-2 = -3. Так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, то угол φ во второй четверти. С помощью таблиц находим φ ≈ 180˚ - 72˚ = 108˚. См. фиг. 4, где точка В изображает - 2 + 6i. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента называется главным. Так, для комплексных чисел -3 -3i, 2i, - 5i главные значения аргумента равны 135˚, + 90˚, - 90˚. Аргумент действительного положительного числа имеет главное значение 0˚; для отрицательных чисел главным значением аргумента принято считать 180˚ (а не - 180˚). У сопряженных комплексных чисел главные значения аргумента имеют одни и те же абсолютные значения, но противоположные знаки. Так, главные значения аргумента чисел – 3 + 3i и – 3 - 3i равны 135˚ и - 135˚. Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + bi обозначается |a + bi|, а также буквой r. Из чертежа (фиг. 5) видно, что

 (1)

М одуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа а + bi и a - bi имеют один и тот же модуль. Примеры. 1. Модуль комплексного числа 3 + 5i (т.е. длина вектора ОА, фиг. 4) равен  2. 3. 4. Модуль числа – 7 (т.е. -7 + 0i) есть длина вектора ОМ (фиг. 4). Эта длина выражается положительным числом 7, т.е. 5. Модуль числа – 4i (длина вектора ON, фиг. 4) равен 4. 6. Модуль числа – 6 – 2i (длина вектора ОС, фиг. 4) равен   Модуль числа – 6 + 2i (длина вектора OC' фиг. 4) также равен  . Два сопряженных комплексных числа всегда имеют равные модули. Угол φ между осью абсцисс и вектором ОМ, изображающим комплексное число а + bi, называется аргументом комплексного числа а + bi. На фиг. 6 вектор OM изображает комплексное число -3 -3i. Угол   являемся аргументом этого комплексного числа. Каждое не равное нулю комплексное число* имеет бесчисленное множество аргументов, отличающихся от друга на целое число полных оборотов (т. е. на 360°k где k — любое целое число). Так, аргументами комплексного числа – 3 – 3i являются все углы вида 225° ± 360°k, например 225° + 360° = 585°, 225° - 360° = - 135°. Аргумент φ связан с координатами комплексного числа а + bi следующими формулами (фиг. 5):

, (1)     , (2)      (3)

Однако ни одна из них в отдельности не позволяет найти аргумент по абсциссе и ординате (см. примеры). Пример 1.Найти аргумент комплексного числа - 3 – 3i. П о формуле (2)tgφ = -3/-3 = 1. Этому условию удовлетворяют как угол 45˚, так и угол 225˚. Но угол 45˚ не является аргументом числа - 3 – 3i. (фиг. 6). Правильный ответ будет φ = 225˚ (или —135˚, или 585˚ т. д.). Этот результат получится если учесть, что абсцисса и ордината данного комплексного числа отрицательны. Значит, точка M лежит в третьей четверти. Другой способ. По формуле (3) находим  Формула (4) показывает, что sin φ тоже отрицателен. Значит, угол φ принадлежит третьей четверти, так что φ = 225˚ ± 360˚k. Пример 2. Найти аргумент комплексного числа - 2 + 6i. Находим tg φ = 6/-2 = -3. Так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, то угол φ во второй четверти. С помощью таблиц находим φ ≈ 180˚ - 72˚ = 108˚. См. фиг. 4, где точка В изображает - 2 + 6i. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента называется главным. Так, для комплексных чисел -3 -3i, 2i, - 5i главные значения аргумента равны 135˚, + 90˚, - 90˚. Аргумент действительного положительного числа имеет главное значение 0˚; для отрицательных чисел главным значением аргумента принято считать 180˚ (а не - 180˚). У сопряженных комплексных чисел главные значения аргумента имеют одни и те же абсолютные значения, но противоположные знаки. Так, главные значения аргумента чисел – 3 + 3i и – 3 - 3i равны 135˚ и - 135˚.