15 Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

•  — искомая функция,

•  — её  -тая производная,

•  — фиксированные числа,

•  — заданная функция (когда  , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Содержание

  [убрать] 

• 1 Однородное уравнение

  • 1.1 Уравнение порядка n

  • 1.2 Уравнение второго порядка

• 2 Неоднородное уравнение

  • 2.1 Вид общего решения неоднородного уравнения

  • 2.2 Принцип суперпозиции

  • 2.3 Частный случай: квазимногочлен

• 3 Уравнение Коши — Эйлера

[Править]Однородное уравнение [править]Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

интегрируется следующим образом:

Пусть   — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей  , соответственно,  .

Тогда функции

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней   можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

[Править]Уравнение второго порядка

16 Комплексные числа . Действия

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени   с комплексными коэффициентами имеет ровно   комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии,квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Тандартная модель

Комплексное число   можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел  . Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• 

• 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида  , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой   единица —   а мнимая единица —   На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен  , то есть 

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.