9. Относительное равновесие. Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью.

Относительное равновесие смотри выше.

2.5.2. Вращение цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью . (рис.2.7)

Определим форму свободной поверхности (поверхности уровня) и закон распределения давления. Выберем вблизи свободной поверхности частицу жидкости массой dm; на эту частицу действует массовая сила dF, направленная по нормали к свободной поверхности. (это свойство поверхности уровня: равнодействующая массовых сил всегда направлена по нормали к поверхности уровня)

Рис. 2.7. Вращение

резервуара с жидкостью.

Разложив эту силу на две составляющие: горизонтальную (центробежную) силу dF_r=dm ²r и вертикальную, определяемую полем силы тяжести dF_g=-dmg.

Разделив действующие силы на dm, получим:

X= ²rcos = ²x;

Y= ²rsin = ²y;

Z=-g .

Дифференциальное уравнение поверхности уровня в этом случае будет

²xdx+ ²ydy-gdz=0 или ²rdr-gdz=0. (2.14)

Интегрируя уравнение (2.14), получим для поверхности равного давления

. (2.15)

Таким образом, поверхностью равного давления будет семейство параболоидов вращения, осью симметрии которых является ось OZ.

Закон распределения давления найдем из дифференциального уравнения (2.6), которое в данном случае примет вид

(2.16)

После интегрирования с учетом граничных условий (r=0, z=z_o, р=р₀) получим закон распределения давления:

, (2.17)

(здесь уже найдена постоянная интегрирования С)

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z. (пропорционально r возрастает инерционная составляющая массовой силы, а с увеличением r массовая сила уменьшается, т.к. результирующая массовая сила всегда нормальна к поверхности уровня – угол наклона вектора массовой силы увеличивается. (см.рис.).

10. Давление жидкости на плоскую стенку. Центр давления.

Для определения полной силы давления жидкости на плоскую стенку, наклоненную к горизонту под некоторым углом (рис.2.8.)воспользуемся основным уравнением гидростатики (2.10;2.9)

Выразим сначала элементарную силу давления, приложенную к бесконечно малой площадке dS:

где р_{o -} давление на свободной поверхности;h – глубина расположения площадки dS.

Рис.2.8.схема для определения силы давления жидкости на плоскую стенку.

Для определения полной силы F проинтегрируем полученное выражение по всей площади S:

где y - координата площадки dS.

.

Следовательно, 

(здесь h_c – глубина расположения центра тяжести площади S)

или (2.18)

т.е. полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление р_с в центре тяжести этой площади.

.

Таким образом, сила с которой жидкость действует на плоскую стенку, равна весу жидкости в объеме цилиндра с основанием, равным площади данной стенки, и высотой, равной глубине погружения ц.т. этой площадки под уровень свободной поверхности.

для разных форм резервуаров, имеющих одинаковую площадь основания, давление на дно будет одинаковым во всех случаях.

В общем случае давление р_о может существенно отличаться от атмосферного, поэтому полную силу F давления жидкости на стенку будем рассматривать как сумму двух сил: F_о от внешнего давления р₀ и силы F_ж от веса жидкости, т.е.

.

Рассмотрим вопрос о точках приложения этих сил, называемых центрами давления.

Так как внешнее давление р₀ передаётся всем точкам площади S одинаково, то его равнодейcтвующая F₀ будет приложена в центре тяжести площади S. Для нахождения точки приложения силы давления F_ж от веса жидкости (точка Д) применим теорему Вариньона из механики, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси ОX равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

,

где y_д– координата точки приложения силы F_ж.

Выражая F_ж и dF_ж через y_с и y и определяя y_д, получаем

,

где - момент инерции площадки S относительно оси OX.

Учитывая, что

-теорема Гюйгенса- Штейнера

где -момент инерции площадки S относительно оси, проходящей через центр тяжести (точкаС) параллельной оси OX, находим

. (2.19)

точка приложения силы F_ж расположена ниже центра тяжести площади стенки.

Если давление р_о равно атмосферному, то точка Д и будет центром давления