- •35.Признак сравнения для рядов (в двух формах)
- •36.Признак Даламбера.
- •37. Признак Коши (радикальный). Интегральный признак Маклорена – Коши.
- •38. Сходимость знакопеременных рядов. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость знакопеременного ряда.
- •39.Два свойства неабсолютно сходящихся рядов
- •40. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Нахождение суммы ряда Лейбница с заранее заданной точностью.
- •Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •Почленное интегрирование ряда .
- •Теорема о дифференцировании ряда.
- •44. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда.
- •45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:
- •46.Выражение коэффициентов сходящегося степенного ряда через сумму ряда. Ряд Маклорена и ряд Тейлора.
- •47.Разложение произвольной функции в ряд Маклорена и в ряд Тейлора. Формулировка достаточных условий сходимости этих рядов к порождающей функции.
- •48.Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена (с указанием области сходимости).
- •49.Простейшие приложения рядов: приближенное нахождение определенных интегралов.
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
Пусть ряд равномерно сходится в некоторой области D, причем его члены являются непрерывными в D функциями. Тогда и сумма ряд S(x) будет непрерывной функцией в области D.
Для доказательства обозначим S n(x) частичную сумму ряда и пусть rn(x) - остаток ряда. Имеем по определению: .
Тогда . Берем произвольную точку x0 D . Рассмотрим и составим приращение суммы ряда в точке x0 : . Далее, для модулей:
. Берем произвольное >0 . Подберем такое N, чтобы для всех n>N имели место неравенства: и
Тогда в D имеем: . Зафиксируем n и учтем при этом, что Sn(x) - непрерывная функция в точке x0 . Тогда можно подобрать x , близкое к x0 , чтобы . В итоге имеем неравенство , означающее в силу произвольности непрерывность суммы ряда в произвольной точке x0 области D, то есть и во всей области D.
Почленный переход к пределу.
Пусть в области D ряд сходится равномерно и его сумма равна S(x). Пусть существуют пределы , где a - точка области D. Тогда существует предел , причем (без доказательства).
Почленное интегрирование ряда .
Теорема. Если ряд из непрерывных функций un(x) сходится в области D : a x b равномерно, то сумму ряда S(x) можно интегрировать, причем
Таким образом, равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать, причем проинтегрированный ряд будет сходиться. Имеем:
Берем >0. Докажем, что можно удовлетворить неравенству
подбирая n большим. В силу равномерной сходимости ряда на отрезке a x b можно утверждать, что существует такое натуральное N , что при всех n >N , . Тогда: , что и требовалось.
Итак, для равномерно сходящегося ряда имеем: .
Теорема о дифференцировании ряда.
Пусть ряд сходится к S(x) равномерно в области D : [ a, b ] и пусть функции (все, при любом n) непрерывны в этой области. Тогда если ряд сходится равномерно в этой же области D , то его сумма равна . По-другому, имеет место равенство:
Действительно, если ряд равномерно сходится в области [ a, b ], то можно взять произвольную точку x из этого отрезка, и если в этой точке имеет место равенство , то прежде всего будем иметь в виду, что (x) непрерывна. Но тогда:
Следовательно, , что и требовалось доказать.
Аналогичные свойства верны и для правильно сходящихся рядов.
44. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда.
Рассмотрим ряд, членами которого являются степенные функции от аргумента x:
Такой ряд называется степенным. В этом ряде действительные числа называются коэффициентами степенного ряда, величина x0 –произвольно заданное действительное число, одно и то же для всех членов ряда, x - аргумент нашего функционального ряда. Величины и x0 полностью задают степенной ряд. ьКраткая запись ряда: . В случае x0 = 0 имеем ряд . Заметим, что при помощи преобразования x-x0 = y можно свести задачу изучения ряда к изучению более простого ряда (в дальнейшем вместо y пишем x).
Для степенного ряда имеет место теорема Абеля:
Если степенной ряд сходится в некоторой точке x0, отличной от нуля (x0 0), то он сходится, причем абсолютно, и в любой точке x, удовлетворяющей условию . Докажем это.
Так как ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при стремлении номера n к бесконечности. Следовательно, члены этого ряда ограничены как члены сходящейся (к нулю) последовательности . Это означает, что существует такое положительное число M >0, что для всех номеров n выполняются неравенства: . Тогда берем произвольное x ( ) и рассмотрим ряд: = = . Оценим абсолютную сходимость этого ряда : - сходится, ибо это геометрическая прогрессия со знаменателем .
Следствие. Если ряд расходится при x0, то он расходится и при любом x, .
Область сходимости степенного ряда .
Из теоремы Абеля и следствия из нее вытекает, что если степенной ряд имеет отличные от нуля точки сходимости x0 и точки расходимости x1, то всякая точка сходимости лежит к началу координат не дальше, чем точка расходимости. При этом получается, что точки сходимости степенного ряда заполняют некоторый промежуток на числовой оси x с центром в начале координат. Этот промежуток можно характеризовать числом R таким, что в точках x, ряд сходится (причем абсолютно), а в точках x , - ряд расходится. В точках x=-R и x=R ряд может как сходиться, так и расходиться. Существование R можно объяснить так:
в точке x*, лежащей между x0 и x1, будет либо сходимость, либо расходимость; так и перебираем точки отрезка [x0,x1], пока не исчерпаем весь этот отрезок.
Определение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда , если для всякого ряд сходится, а для всякого ряд расходится. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости, начало координат – центр интервала сходимости.
Разъяснение:
Для ряда центром интервала сходимости будет точка x0 . Число R будет радиусом сходимости, если для ряд сходится, а для ряд расходится. Интервал сходимости этого ряда: -R+x0 < x <R+x0 . На концах интервала сходимости x=-R+x0 и x= R+x0 ряд может либо сходиться, либо расходиться.
Для отыскания радиуса сходимости , характеризующего область сходимости степенного ряда, можно поступать с рядом, как с числовым – применять к нему признаки Даламбера, Коши и другие.
Пусть, например, существует предел . Тогда находим ; ; . Если q=0, то вся действительная ось x является областью сходимости. Если q= , то ряд сходится только в точке x=0, а на всей оси x он расходится. Если же не существует (но, допустим, существует самая правая предельная точка (точка сгущения) числовой последовательности , то обозначив эту правую точку через находим, что заведомо ряд будет сходиться, если , т.е. если
Аналогично поступаем при применении признака Даламбера. Пусть существует . Тогда
Сходимость ряда на концах x=-R и x=R исследуется отдельно.