- •35.Признак сравнения для рядов (в двух формах)
- •36.Признак Даламбера.
- •37. Признак Коши (радикальный). Интегральный признак Маклорена – Коши.
- •38. Сходимость знакопеременных рядов. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость знакопеременного ряда.
- •39.Два свойства неабсолютно сходящихся рядов
- •40. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Нахождение суммы ряда Лейбница с заранее заданной точностью.
- •Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.
- •Почленное интегрирование ряда .
- •Теорема о дифференцировании ряда.
- •44. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда.
- •45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:
- •46.Выражение коэффициентов сходящегося степенного ряда через сумму ряда. Ряд Маклорена и ряд Тейлора.
- •47.Разложение произвольной функции в ряд Маклорена и в ряд Тейлора. Формулировка достаточных условий сходимости этих рядов к порождающей функции.
- •48.Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена (с указанием области сходимости).
- •49.Простейшие приложения рядов: приближенное нахождение определенных интегралов.
45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:
1. Степенной ряд равномерно (правильно) сходится на любом замкнутом интервале [-b, b], находящемся внутри интервала сходимости (-R, R). Действительно, берем любое x0, лежащее между b и R: . Тогда для любого ряд мажорируется числовым рядом , который сходится. Следовательно, и наш степенной ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.
2. Степенной ряд, составленный из производных имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд . Это свойство легко доказывается в случае существования предела . Тогда что и требовалось.
Отсюда в частности следует, что все степенные ряды, получаемые почленным дифференцированием исходного ряда, имеют один и тот же радиус сходимости. Все эти ряды будут сходиться правильно на замкнутом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.
3. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке x0 интервала (-R, R) (ибо он сходится равномерно на отрезке [-x0, x0]). Рассмотрим пример ряда: =S(x). Функция S(x) разрывна только при x=1, но вне интервала сходимости она не является суммой ряда.
4. Степенные ряды можно почленно интегрировать в интервале сходимости (-R, R). Пусть a и b – точки, лежащие внутри (-R, R). Тогда будем иметь:
5. Степенные ряды можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, причем будем иметь:
46.Выражение коэффициентов сходящегося степенного ряда через сумму ряда. Ряд Маклорена и ряд Тейлора.
47.Разложение произвольной функции в ряд Маклорена и в ряд Тейлора. Формулировка достаточных условий сходимости этих рядов к порождающей функции.
Разложение функций в степенные ряды .
Сумма S(x) степенного ряда в интервале сходимости будет непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой функцией. Часто бывает интересно узнать обратный вопрос: какая функция f(x) может быть суммой некоторого степенного ряда? Прежде всего, ясно, что такая функция должна быть бесконечное число раз дифференцируемой в интервале сходимости. Далее, если эта функция является суммой ряда ( т.е. если f(x)= ), сходящегося в некотором конечном интервале, то с помощью неоднократного дифференцирования левой и правой частей этого равенства и удовлетворения равенству в точке в точке x0 убеждаемся, что должны выполняться следующие соотношения:
Откуда заключаем, что коэффициенты степенного ряда an следующим образом (как и в формуле Тейлора) выражаются через производные функции f(x):
Тогда:
Итак, если функцию f(x) можно разложить в степенной ряд с центром в точке x0 , то этот ряд имеет вышенаписанный вид. Он оказывается рядом Тейлора, а коэффициенты
называются коэффициентами Тейлора для функции f(x) в точке x0. Всякий сходящийся степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы. Следует обратить внимание на то, что если предположить, что функция f(x) имеет все производные в точке x0, то это еще не означает, что ее можно разложить в степенной ряд. Такой ряд может даже расходиться на всей оси x (кроме точки x0). Но если он и сходится, то необязательно к функции, его породившей.
Примеры: Пусть функция f(x ) такова, что ее производные известные: . Тогда ряд будет иметь вид:
Этот ряд сходится только в точке x= x0 . Радиус сходимости этого ряда равен нулю.
Условия разложения функций в ряд Тейлора.
Теорема. Если в некотором интервале с центром в точке x0 все производные ограничены одним и тем же числом (говорят тогда, что они ограничены по совокупности), то эта функция разлагается в ряд Тейлора.
Действительно, пусть производные обладают свойством ограниченности, т.е. пусть существует такое положительное число M>0, что для всех номеров n и для всех x из упомянутого выше интервала имеют место неравенства . Запишем формулу Тейлора для f(x):
где - некоторая точка, лежащая между точками x0 и x. Так как f(n)(x) ограничена (для всех n), то .
Отношение стремится к нулю при любом заданном (зафиксированном) x и . В этом можно убедиться, формально рассмотрев ряд . По признаку Даламбера, он сходится, если
Но у нас: Поэтому и выполняется условие при , в той окрестности точки x0, в которой выполняются неравенства , n=1; 2;3;… .
Итак, разность стремится к нулю с возрастанием n (т.е. стремится к нулю при ).
С другой стороны, сумма есть не что иное, как частичная сумма ряда Тейлора: . Получаем возможность записать такое равенство:
Оно означает, что сумма ряда Тейлора равна f(x). Если разложение ведется в точке x0 = 0, то имеем ряд Маклорена: .