Решение системы линейных алгебраических уравнений
Цель работы: ознакомиться с основами работы в пакете MATLAB; научиться задавать данные в матричном виде и выполнять простейшие операции над ними; закрепить полученные знания на примере решения системы линейных алгебраических уравнений.
Краткие теоретические сведения
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными имеет следующий вид:
,
где
;
,
.
Здесь А
– квадратная матрица коэффициентов
(квадратная матрица с ненулевым
определителем),
Х – вектор
неизвестных величин, В
– вектор свободных членов. Для решения
системы уравнений необходимо выразить
вектор неизвестных из матричного
уравнения:
,
где
– обратная матрица по отношению к А.
Указания к выполнению
Перед началом выполнения лабораторной работы необходимо ознакомиться с теорией матриц и с основами языка MATLAB, пользуясь справочной системой пакета MATLAB, учебной и научной литературой, приведенной в библиографическом списке.
Для выполнения основной части работы требуется запустить пакет MATLAB и создать новый скрипт, выбрав в главном меню File пункт New → → M-file. Скрипт можно сохранить под выбранным именем. Имя желательно составить, используя символы латиницы и цифры (первый символ – буква) и избегая служебных символов. Директорию, в которой сохранен файл нового скрипта, необходимо сделать активной в окне Current Directory.
Приведем пример решения СЛАУ при следующих исходных данных:
,
.
Для решения этой системы уравнений предлагается скрипт, содержащий процедуру вычисления вектора неизвестных тремя различными способами:
% Задание матриц
A = [1 1 1; 2 2 1; 3 1 1];
B = [6; 9; 8];
% Решение системы линейных уравнений. Вариант 1
X1 = linsolve(A, B)
% Решение системы линейных уравнений. Вариант 2
X2 = A \ B
% Решение системы линейных уравнений. Вариант 3
X3 = inv(A) * B
Для запуска скрипта
следует набрать его имя в рабочей области
Command
Window
и подтвердить нажатием клавиши ENTER.
Альтернативный вариант запуска – с
помощью пиктограммы
панели инструментов в окне скрипта.
Результат выполнения скрипта выводится в рабочей области. Обратите внимание, что результаты выполнения операций появляются лишь в том случае, если в конце строки не стоит точка с запятой. В ином случае операция выполняется, но ее результат не отражается в рабочей области.
Порядок выполнения работы
1. Создать новый скрипт MATLAB.
2. Задать две матрицы: квадратную матрицу коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений и вектор-столбец свободных членов.
3. Используя возможности языка MATLAB, различными способами вычислить вектор неизвестных величин.
4. Отобразить результаты выполнения программы и интерпретировать их.
5. Сделать выводы и оформить отчет о выполнении работы.
Задания для самоподготовки
1. Назовите свойства обратных матриц.
2. Дайте определение плохо обусловленной матрицы. Покажите на примере, как плохая обусловленность матрицы коэффициентов СЛАУ влияет на ее решение.
3. Объясните, как задаются матрицы в языке MATLAB.
4
Лабораторная работа 2