Порядок выполнения работы
1. Записать обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника (невесомого стержня на подвесе с грузом), совершающего колебания в одной плоскости в поле гравитационных сил и испытывающего сопротивление окружающей среды.
2. Представить полученное дифференциальное уравнение в интегральной форме. Собрать из блоков в среде Simulink соответствующую этому описанию модель.
3. Задать параметры маятника и выбрать начальные условия. Отобразить на графике зависимость угла отклонения маятника от времени.
4. Сделать выводы и оформить отчет о выполнении работы.
Задания для самоподготовки
1. Самостоятельно выведите уравнение движения маятника.
2. Экспериментальным путем покажите влияние массы и длины маятника на характер его колебаний.
3. В справочной системе Simulink найдите описание блока X-Y Plot. Примените этот блок для построения траектории движения маятника на фазовой плоскости.
4. Постройте математическую модель пружинного маятника и реализуйте ее в системе Simulink.
Лабораторная работа 5
Модель полЕта двухступенчатой ракеты
Цель работы: построить физическую модель полета реактивного летательного аппарата (ракеты) с применением закона сохранения импульса (при построении модели предполагается, что ракета имеет две ступени, функционирующие последовательно с целью увеличения максимальной скорости согласно принципу Циолковского); реализовать модель полета ракеты в среде Simulink.
Краткие теоретические сведения
Ракетная техника основана на принципе реактивного движения. Простейшая математическая модель движения ракеты получается из закона сохранения импульса в пренебрежении сопротивлением воздуха, гравитацией и другими силами, исключая, конечно, тягу реактивных двигателей.
Пусть
продукты сгорания ракетного топлива
покидают выхлопные сопла со скоростью
u.
Величина u,
как
правило, постоянна и равна
3…5 км/с.
За малый промежуток времени dt
между
моментами t
и
часть топлива выгорает, при этом масса
изменяется на величину dm.
Следовательно, изменяется и импульс
ракеты, однако суммарный импульс системы
«ракета плюс продукты сгорания» остается
неизменным. Этот факт можно выразить
следующей формулой:
где
– скорость ракеты;
– средняя за промежуток
dt скорость
газов,
.
Правая часть этого равенства состоит из импульса ракеты в момент и импульса, переданного истекающим газом за время dt. Отбрасывая величины высокого порядка малости, получаем закон сохранения импульса в виде дифференциального уравнения
,
в котором правая часть представляет собой силу тяги ракетного двигателя. Это уравнение легко преобразовать к виду
,
,
при интегрировании которого получаем
,
где
и
– соответственно масса и скорость
ракеты в начальный момент
.
Если принять
и рассмотреть скорость ракеты в момент
полного выгорания топлива, то получим
результирующее выражение, называемое
формулой
Циолковского:
,
где
– полезная масса (например, масса
спутника);
– структурная масса (масса ракетной
конструкции, включая топливные баки,
двигатель, систему управления и т. д.,
без массы топлива).
Формула
Циолковского позволяет сделать
фундаментальный вывод
о конструкции
ракеты для космических полетов. Для
реальных соотношений
масс
и типичной скорости продуктов сгорания
получаем максимальную скорость ракеты
.
Вывод, который можно отсюда сделать,
таков: даже при идеальной ситуации
(отсутствие гравитации и сопротивления
воздуха, минимальная полезная масса)
ракета рассматриваемого типа не способна
достичь первой космической скорости.
Поэтому необходимо использовать
многоступенчатые ракеты.
Пусть
– общая масса i-й
ступени ракеты,
– соответствующая структурная масса.
Величины
и скорость истечения газов u
одинаковы для всех ступеней. Начальная
масса двухступенчатой ракеты
.
В момент когда израсходовано все топливо первой ступени, масса ракеты станет
.
Применяя формулу Циолковского, получим скорость ракеты:
После
достижения скорости
структурная масса первой ступени
отбрасывается и включается вторая
ступень. Начиная с этого момента и до
полного выгорания топлива второй ступени
воспользуемся уже построенной моделью.
Все рассуждения о сохранении суммарного
импульса и соответствующие выкладки
остаются в силе.
По формуле Циолковского после полного выгорания топлива во второй ступени ракета достигнет скорости
Введем следующие обозначения:
с учетом которых окончательно получим:
Нетрудно
показать, что максимум полученного
выражения достигается при условии
