Гладкие кривые
«Все умные места кривые.» Мераб Мамардашвили
Для «гладкой» аппроксимации применяют кривые Безье и NURBS-кривые в качестве средств векторной графики в связи с возможностью простого управления их непрерывной кривизной. Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель, резких преломлений и разрывов. Но это не исключает возможность создания, как гладкого сопряжения двух точек (участков, сегментов), так и изгибов, например острых углов.
Примером сочетания гладких кривых и острых преломлений служат профили авиакрыла. Что же такое гладкость кривых?
Пример. Для частицы, которая перемещается по кривой, следует обеспечить выполнение требования:
на пути вдоль параметрической кривой не должно быть остановок (кроме начала и конца);
внезапного изменения направления.
Для того чтобы представить такое движения частицы, можно мысленно "укрепить" на ней стрелку, которая непрерывно указывает направление движения вдоль параметрической кривой.
На математическом языке стрелка на частице есть касательный вектор. Если касательная в соседних точках не меняет внезапно своего направления, такую кривую считают гладкой (рис. 1.3).
Если "на кривой имеется излом, то направление касательной в точке Q меняется практически мгновенно (рис. 1.4).
Рис.
1.3. Касательная
на гладкой кривой
Рис.
1.4. Касательная
на кривой с изломом
Дальше познакомимся с основами построения гладких кривых, которые применяют в векторной и векторно-компьютерной графике. Начнем с NURBS-кривых. Они есть наиболее общим и более сложным случаем таких кривых.
Nurbs-кривая. Контрольные точки.
Термин NURBS образован аббревиатурой от английской фразы Non-Uniform Rational B-spline, где:
"Non-Uniform" (неоднородный) означает, что область влияния контрольной точки на форму кривой может быть разной. Это важное свойство для моделирования иррегулярных кривых.
"Rational" (рациональный) означает, что математическое выражение, описывающее форму моделируемой кривой, есть отношение двух полиномов. Эта особенность позволяет точнее моделировать различные кривые, например конические сечения.
"B-spline" (basis spline, базовый сплайн) – способ математического описания кривой интерполяцией между тремя и более контрольными точками.
Привычные для плоских векторных художников кривые Безье есть частный случай В-сплайна. Информацию о кривых Безье см. далее, в одноименном разделе.
Итак
3.1 Контрольные точки
Из аналитического определения параметрической кривой, которое приведено выше:
q(t) = {x(t), y(t)}
Левая часть выражения содержит в себе управляющий параметр t: q(t) =…
где t – параметр, представляет заданный набор значений t определенного диапазона, как правило, от 0 до 1. Используя его значения, получают последовательность пар {х, у}, по которым строится моделируемая кривая (рис. 1.5).
Рис.
1.5. Пример
построения параметрической кривой
В этом выражении не определена правая часть, т. е. собственно параметрическое уравнение, а точнее, параметрические уравнения.
Одна из основных особенностей NURBS-кривой состоит в том, что ее форма определяется местом расположения множества контрольных точек (control points). На рис. 1.5. эти точки обозначены как Qi. Правильнее было бы обозначить их символом Bi
Контрольные точки соединены для наглядности прямыми линиями. Эта ломаная линия получила название управляющего многоугольника (control polygon). Этот же многоугольник может рассматриваться и как аппроксимация кривой линии в первом приближении.