- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2.
- •Геометрические св-ва:
- •Алгебраические св-ва:
- •Выражение сп в дпк:
- •Вопрос 3.
- •Геометрические св-ва вп.
- •Вопрос 4.
- •Вопрос 5.
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7.
- •Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой).
- •Угол между двумя прямыми в пространстве.
- •Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •Вопрос 8.
- •Точка пересечения прямой и плоскости.
- •Вопрос 9.
- •Предел функции.
- •Арифметические операции над функциями.
- •Доказательство?!?!
- •Первый и второй замечательный пределы.
- •Вопрос 10.
- •Доказательство?! (доказывается с помощью пределов:
- •Вопрос 11.
- •Геометрический смысл:
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Вопрос 14.
- •Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
- •Основные свойства неопределенного интеграла:
- •Интегрирование заменой переменной и по частям.
- •Вопрос 15.(посмотри в никишкине)
- •Интегрирование рациональных выражений.
- •Интегрирование некоторых иррациональных
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 16.
- •Понятие определенного интеграла.
- •Предел интегральной суммы
- •Вопрос 17.
- •Вопрос 18.
- •Вопрос 19.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Вопрос 20.
Вопрос 14.
Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование заменой переменной и по частям.
Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
Ф-ия F(x) называется первообразной для f(x) на промежутке M, если F’(x)=f(x) для всех х M.
Неопределенный интеграл от функции f(x) совокупность всех первообразных ф-ии f(x).
= F(x)+ C
Основные свойства неопределенного интеграла:
= F(x)+ C
= c
Таблица основных интегралов
Интегрирование заменой переменной и по частям.
Замена:
Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением
где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du.
Пример:
По частям:
Пример:
Вопрос 15.(посмотри в никишкине)
Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование некоторых иррациональных. Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование рациональных выражений.
Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.
Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае –неправильной.
Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.
Способ интегрирования рациональной ф-ии заключается в представлении ее в виде сумы простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Простейшие дроби:
Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида (x-a)m и (x2+px+q)n, D<0, правильная дробь разлагается в сумму элементарных дробей:
= + +…+ + + +… +
Интегрирование некоторых иррациональных
Функции, содержащие иррациональности, интегрируются в том случае, когда интеграл от них сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью какойлибо замены переменной. Приведем несколько примеров интегрируемых иррациональных функций.
) Интегралы вида
где рациональная функция, а , , натуральные числа. Метод интегрирования замена , где наименьшее общее кратное чисел , , .
) Интегралы вида сводятся к табличным при помощи замены .
) Интегралы , где , и рациональные числа. Интегралы такого вида сводятся к элементарным только при следующих соотношениях параметров , и .
Если целое, то следует использовать замену , где наименьшее общее кратное знаменателей дробей , .
Пусть теперь наименьшее общее кратное знаменателей дробей , . Если целое, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены .
Если целое, то интегрирование осуществляется при помощи замены .
) Подстановки Эйлера. Они применяются к интегралам вида , где рациональная функция. Имеется три вида подстановок Эйлера.
;
;
,
где , корни многочлена .
Тригонометрические замены. Для интегралов используется замена . Для интегралов используется замена . Для интегралов используется замена . В каждом из трех случаев получается интеграл от рациональной функции, зависящей от и .