4. Производная и ее приложения

121 - 130. Найти производные dy/dx данных функций.

121. a) ;

б) y = (e^{cos x} + 3)²; в) y = ln sin (2x+5);

г) ; д) tg (y/x) = 5x.

122. а) y = ; б) y = (4sin x) / cos² x;

в) y = arctg e^2x ; г) y = x^1/x ;

д) x-y+arctg y = 0.

123. а) ; б) y = 1/tg² 2x ;

в) y = arcsin (1-3x) ; г) y = x^{ln x} ;

д) y sin x = cos (x-y).

124. а) ; б) y = sin x - xcos x;

в) y = x^m lnx ; г) y = x ^-tgx;

д) (y/x) = arctg (x/y).

125. а) ; б) y = (sin² x) / (2+3cos² x) ;

в) y = (x ln x)/(x-1) ; г) y = (arctg x)^{ln x};

д) (e^x -1)(e^y -1) - 1 = 0.

126. а) ; б) y = 2tg ³(x² +1) ;

в) y = 3^{arctg x} ; г) y = (arctg x)^x ;

д) y² x = e ^y/x.

127. а) ; б) y = (1/2)tg² x+ln cos x ;

в) ; г) y = (x+x²) ^x ;

д) x³ +y³ - 3a xy = 0.

128. а) ; б) ;

в) y = arctg(tg² x) ; г) y = (sinx)^{ln x} ;

д) x-y+a sin y = 0.

129. а) ; б) y = 2^x e^-x ;

в) y = (arcsin x)/ 1 - x² ; г) y = (cos x)^x ;

д) ln y = arctg (x/y).

130. а) ; б) y = (1/3) tg³ x - tg x + x;

в) ; г) y = (cos x)^x ;

д) x-y+e^y arctg x = 0.

131 - 140. Найти dy/dx и d²y/dx² для заданных функций:

а), б) y = f(x); в) x = (t), y = (t).

131. а) y = x/(x² -1); б) y = (e^{cos x} +2)³ ;

в) x = cos (t/2), y = t - sin t.

132. а) y = ln ctg 2x; б) y = x ;

в) x = t³ + 8t, y = t⁵ + 2t.

133. а) y = x³ ln x ; б) y = arctg e^4x ;

в) x = t - sin t, y = 1 - cos t.

134. а) y = x arctg x ; б) y = 3 ^{cos 5x} ;

в) x = e ^2t ; y = cos t.

135. а) y = arctg x ; б) y = e^x cos 2x;

в) x = 3cos² t, y = 2sin³ t.

136. а) y = e^{ctg 3x}; б) y = ln cos 5x ;

в) x = 3cos t, y = 4sin² t.

137. а) y = e^x cos x; б) y = tg (x⁴ +5) ;

в) x = 3t-t³, y = 3t² .

138. а) y = e^-x sin x ; б) y = x ctg 8x ;

в) x = 2t-t³ , y = 2t² .

139. а) y = x ; б) y = (x²-2x-1) cos 4x ;

в) x = t+ln cos t, y = t - ln sin t.

140. а) y = x e^-x; б) y = e^{-cos x} ;

в) x = ln t, y = (1/2)(t-1/t).

141 - 150. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b].

141. f(x) = x³ - 12x + 7; [0; 3].

142. f(x) = x⁵ - (5/3)x³ + 2; [0; 2].

143. f(x) = x + cos x; [0; /2].

144. f(x) = 3x⁴ - 16x³ + 2; [-3; 1].

145. f(x) = x³ - 3x + 1; [1/2; 2].

146. f(x) = x⁴ + 4x; [-2; 2].

147. f(x) = x - sin x; [0; /2].

148. f(x) = 81x - x⁴; [-1; 4].

149. f(x) = 3 - 2x² ; [-1; 3].

150. f(x) = x - sin x ; [-; ].

5. Приложения дифференциального

исчисления

151 - 160. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и, используя полученные результаты, построить ее график.

151. y = 4x/(4+x²). 152. y = (x²-1)/(x²+1).

153. y = (x²+1)/(x²-1). 154. y = x²/(x-1).

155. y = x³/(x²+1). 156. y = (4x³+5)/x.

157. y = (x²-5)/(x-3). 158. y = x⁴/(x³-1).

159. y = 4x³/(x³-1). 160. y = (2-4x²)/(1-4x²).

6. Дифференциальное исчисление функций

нескольких переменных

161 - 170. Найти а) ; ; б) ; ; .

161.a) z = cos (x/y² ) +5x, б) u = xz/(x+y+z³ );

162. а) z = 3x²/(x+y), б) u = sin (x²+y²+2z+1);

163. а) z = arcsin(x+6y) - 2y⁵; б) u = cos (x/y²) +5z cos (x/z² );

164. а) z = y/(x³-y²)²; б) u = sin (x²+y²) - ln(x²+4z⁴);

165. а) z = ln(x+5e^-3y); б) u = arcsin(3zx+6y);

166. а) z = ln( 3xy+e^-3xy ); б) u = xz e^yz/x;

167. а) z = 5x^cos(y) ; б) u = xz + ln(yx²+6z⁴);

168. а) z = sin(x+4y⁵); б) u = arccos(3z³x+6y);

169. а) z =5x² +y² +tg(4x/y); б) u = x [ln (z+1) - yln z];

170. а) z =5yx² + arccos(3x³+6y); б) u = xtg(e^yz/x ).

171 - 180. Дана функция z=f(x,y). Показать, что

.

171. z = y/(x²-y²)⁵; F = .

172. z = y²/(3x)+arcsin(xy); F =

173. z = ln(x²+y²+2x+1); F = .

174. z = e^xy ; F = .

175. z = ln(x+e^-y); F = .

176. z = x/y; F = .

177. z = x^y; F = .

178. z = x e^y/x; F = .

179. z = sin(x+ay); F = .

180. z = cos y+(y-x) sin y; F = (x-y) .

181 - 190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x;y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

181. z = x²+y²-9xy+27; 0x3, 0y3.

182. z = x²+2y²+1; x0, y0, x+y3.

183. z = 3-2x²-xy-y²; x1, y0, yx.

184. z = x²+3y²+x-y; x1, y-1, x+y1.

185. z = x²+2xy+2y²; -1x1, 0y2.

186. z = 5x²-3xy+y²+4; x-1, y-1, x+y1.

187. z = 10+2xy-x²; 0y4-x² .

188. z = x²+2xy-y²-4x; x0; y0; x+y+20.

189. z = x²+xy-2; 4x²-4y0.

190. z = x²+xy; -1x1; 0y3.

191 - 200. Даны функция z=f(x;y), точка А(х₀;y₀) и вектор а(а₁;а₂). Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора а.

191. z = x²+xy+y²; A(1; 1), a(2; -1).

192. z = 2x²+3xy+y²; A(2; 1), a(3; -4).

193. z = ln(5x²+3y²); A(1; 1), a(3; 2).

194. z = ln(5x²+4y²); A(1; 1), a(2; -1).

195. z = 5x²+6xy; A(2; 1), a(1; 2).

196. z = arctg(xy²); A(2; 3), a(4; -3).

197. z = arcsin(x²/y); A(1; 2), a(5; -12).

198. z = ln(3x²+4y²); A(1; 3), a(2; -1).

199. z = 3x⁴+2x²y³; A(-1; 2), a(4; -3).

200. z = 3x²y²+5xy²; A(1; 1), a(2; 1).