7. Неопределенный и определенный интегралы

201 - 210. Найти неопределенные интегралы. В пп. «а» и «б» результаты проверить дифференцированием.

201. a) e^{sin x} sin 2xdx; б) arctg x dx;

в) ; г) ;

д) dx; е) .

202. a) ; б) e^x ln(1+3e^x)dx;

в) dx; г) ;

д) ; е) (1+2cos x)² dx.

203. a) ; б) x 3^x dx;

в) ; г) ;

д) ; е) .

204. a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) sin² x cos² x dx; е) .

205. a) ; б) x² e^3x dx;

в) ; г) ;

д) dx; е) .

206. a) ; б) ;

в) ; г) ;

д) sin 3x sin 7x dx ; е) .

207. a) ; б) x ln(x +1)dx;

в) ; г) ;

д) dx; е) .

208. a) ; б) x sin x cos x dx;

в) ; г) ;

д) x² dx; е .

209. a) ; б) x² sin 4x dx;

в) ; г) ;

д) ; е) .

210. a) ; б) x ln² x dx;

в) ; г) ;

д) ; е) .

211-220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

211. 212. .

213. . 214. .

215. . 216. .

217. . 218. .

219. . 220. .

221. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x²+1 и прямой y = 3x+7.

222. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a(t - sin t), y = a(1- cos t) (  t  ) и осью Ox.

223. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = 3(1+cos ).

224. Найти площадь фигуры, ограниченной четерехлепестковой розой r = 4sin 2 .

225. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами y = x² и y = .

226. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной полуэллипсом y = 3 , параболой x = и осью Oy.

227. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг Oy фигуры, ограниченной кривыми y = 2/(1+x²) и y = x².

228. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = от точки А(2; 0) до точки В(6; 8).

229. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1-cos ).

230. Вычислить длину одной арки циклоиды x = 3(t - sin t), y = 3(1 - cos t) (0  t 2).

8. Дифференциальные уравнения

231 - 240. Найти общее решение дифференциального уравнения.

231. а) (x²-y²)y' = 2xy, б) 2xy' -6y = -x².

232. а) (1+x²)y' -2xy = (1+x²)², б) (x²-1)y' +2xy² = 0.

233. а) xy' = y ln(y/x), б) xy' +y = y².

234. а) xy' +y = 3, б) y + y - xy' = 0.

235. а) xy' +x e^y/x -y = 0, б) xyy' = y²+1.

236. а) y' cos x = (y+1)sin x, б) xy' = y + x cos²(y/x).

237. а) ; б) .

238. а) x²y' +y = x+1, б) xy' =y ln²(y/x).

239. а) x²y' +y²-2xy = 0, б) xy' = 1+y².

240. а) xy' +y = x+1, б) xy' = y(y-1).

241. (1-x²)y'' = xy' . 242. 2yy'' +(y')²+(y')⁴ = 0.

243. y'' +y' tg x = sin 2x. 244. y'' +(1/x)y' = x².

245. 1+(y' )²+yy'' = 0. 246. (1+y)y'' -5(y')² = 0.

247. xy'' +2 = x³. 248. y'' tg y = 2(y' )².

249. y'' -2y' tg x = sin x. 250. 3yy'' +(y')² = 0.

251 - 260. Найти частное решение дифференциального уравнения y'' +py' +qy = f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0) = y₀, y' (0)=y'₀.

251. y'' +4y' -12y = 8sin 2x; y(0)=0, y' (0)=0.

252. y'' - 6y' +9y = x²-x+3; y(0)=4/3, y' (0)=1/27.

253. y'' +4y = e^-2x; y(0)=0, y' (0)=0.

254. y'' -2y' +5y = xe^2x; y(0)=1, y' (0)=0.

255. y'' +5y' +6y = 12cos 2x; y(0)=1, y' (0)=3.

256. y'' - 5y' +6y = (12x-7)e^-x; y(0)=0, y' (0)=0.

257. y'' - 4y' +13y = 26x+5; y(0)=1, y' (0)=0.

258. y'' - 4y' =6x²+1; y(0)=2, y' (0)=3.

259. y'' -2y' +y = 16e^x; y(0)=1, y' (0)=2.

260. y'' +6y' +9y = 10e^-3x; y(0)=3, y' (0)=2.

261 - 270. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dx/dt = a₁₁x+a₁₂y,

dy/dt = a₂₁x+a₂₂y.

Требуется: 1) найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения; 2) записать данную систему и ее решение в матричной форме.

261. dx/dt = 4x+6y, 262. dx/dt = -5x-4y,

dy/dt = 4x+2y. dy/dt = -2x-3y.

263. dx/dt = 3x+y, 264. dx/dt = 6x+3y,

dy/dt = 8x+y. dy/dt = -8x-5y.

265. dx/dt = -x+5y, 266. dx/dt = 3x-2y,

dy/dt = x+3y. dy/dt = 2x+8y.

267. dx/dt = -4x-6y, 268. dx/dt = -5x-8y,

dy/dt = -4x-2y. dy/dt = -3x-3y.

269. dx/dt = -x-5y, 270. dx/dt = -7x+5y,

dy/dt = -7x-3y. dy/dt = 4x-8y.