Методические указания по выполнению контрольной работы

Преобразование Лапласа.

Пусть имеется функция действительного аргумента , такая, что

1) задана на промежутке ,

2) кусочно непрерывна на , (т.е. на любом конечном интервале функция имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода),

3) существуют такие положительные числа и , что для всех значений , справедливо неравенство .

Рассмотрим функцию

, где .

Функция называется изображением Лапласа функции . При этом функция называется оригиналом. Это может быть записано в виде

Если функция задана на всей числовой оси, то вместо нее всюду, в дальнейшем, без специальных оговорок, будет рассматриваться функция

, где - единичная функция Хевисайда.

Например, вместо функции будет использоваться функция

Нам потребуются гиперболические функции:

Гиперболический синус и

гиперболический косинус

Таблица изображений и оригиналов преобразования Лапласа

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Свойства преобразования Лапласа

1. Аддитивность: .

2. Однородность: .

3. Теорема смещения:

4. Теорема подобия:

5. Теорема запаздывания:

6. Теорема о свертке: .

7. Теорема о дифференцировании изображения:

8. Теорема о дифференцировании оригинала:

9. Теорема об интегрировании оригинала:

10. Теорема об интегрировании изображения:

1. Вычисление изображений Лапласа

Пример 1. Найти изображение функции

Решение. Используя свойства аддитивности и однородности

преобразования Лапласа и формулы 1, 3, 4 таблицы, находим

Пример 2. Найти изображение функции

Решение. Преобразуем оригинал:

Используя линейность преобразования Лапласа и формулы 2 и 3, находим:

Пример 3. Найти изображение функции

Решение. Используя формулу 13 таблицы изображений и теорему 7 о дифференцировании изображения, получаем:

Пример 4. Найти изображение интегрального синуса

Решение. Применяя теоремы об интегрировании оригинала и об интегрировании изображения, получаем

Пример 5. Найти изображение функции

Решение. Используя теорему 6 о свертке, получаем

Пример 6. Найти изображение функции

Решение. Используя функцию Хевисайда, запишем в виде суммы функций вида (Аргументы у сомножителей должны быть одинаковыми.)

В момент к функции прибавляется функция Запишем эту функцию с аргументом . По формуле приведения ,

следовательно, Итак,

Пользуясь формулой 2 и теоремой запаздывания 5, получаем

Пример 7. Найти изображение функции

Решение. Запишем с помощью единичной функции Хевисайда.

В момент времени появляется сигнал, равный , который отключается в момент времени . В этот же момент появляется сигнал , отключающийся при . Поэтому можно записать

Преобразуем это выражение, так чтобы аргументы у функции и функции, на которую умножается, были одинаковыми.

.

Пользуясь теоремой запаздывания, отсюда находим

Следовательно,