- •Операционное исчисление
- •4 Семестр
- •Задания для контрольной работы
- •Методические указания по выполнению контрольной работы
- •Свойства преобразования Лапласа
- •1. Вычисление изображений Лапласа
- •2. Восстановление оригинала по изображению Лапласа
- •3. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
- •Дискретное преобразование Лапласа ( преобразование)
- •Преобразования Лапласа ( преобразования)
- •Свойства дискретного преобразования Лапласа
- •4. Вычисление изображений
- •5. Вычисление оригиналов для изображений
2. Восстановление оригинала по изображению Лапласа
Пример 8. Найти оригинал для изображения
Решение. Используя формулы 2 и 6, получим
Пример 9. Найти оригинал для изображения
Решение. Выделим полный квадрат:
Тогда
Пример 10. Найти оригинал для изображения
Решение. Выделим полный квадрат:
Теперь преобразуем числитель дроби.
Пример11. Найти оригинал для изображения .
Решение. Разложим эту дробь на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов.
. Следовательно,
.
Преобразуем числитель, и знаменатель второй дроби
Пример 12. Найти оригинал для изображения
Решение. Разложим дробь на сумму элементарных дробей.
Приравняем числители полученных дробей и применим метод подстановки. Т.е. приравняем корням знаменателя и какому-нибудь небольшому целому числу.
Подставляем значения коэффициентов в разложение и находим оригинал функции.
Пример 13. Найти оригинал для функции
Решение. По формуле 3 . Применяя теорему запаздывания, получим
3. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
Пример 14. Решить задачу Коши с помощью преобразования Лапласа
Решение. Обозначим . Тогда по формулам 19 и 20 получим
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, используя аддитивность и однородность этого преобразования.
Подставим начальные условия и найдем
Можно составить систему уравнений, приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях переменной, но т.к. корни знаменателя простые и действительные, то можно использовать метод подстановки. В обе части последнего равенства подставляем значения этих корней.
. Подставим найденные значения в разложение и найдем оригинал. Итак,
Пример 15. Решить, используя преобразование Лапласа, задачу Коши для системы уравнений
Решение. Обозначим и применим преобразование Лапласа к обоим уравнениям системы. Получим операторную систему
Подставив начальные значения, получим:
Решая систему, найдем
,
Разложим каждую из дробей на сумму элементарных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов, и найдем оригиналы.
Итак,
Дискретное преобразование Лапласа ( преобразование)
Наряду с функциями, определенными на всей вещественной прямой , можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках . Такие функции называют решетчатыми. Обычно рассматривают функции, определенные в равноотстоящих точках где - целое число, а - постоянная, называемая периодом дискретности. Эти функции обозначают , а если , то
Всякая функция , являющаяся оригиналом для обычного преобразования Лапласа, порождает решетчатую функцию , для
которой определено дискретное преобразование Лапласа.
Решетчатая функция называется дискретным оригиналом, если
1) при ,
2)существуют такие числа , что для всех натуральных значений .
Функция называется изображением функции при дискретном преобразовании Лапласа. Это обозначается следующим образом
или
Обычно рассматривают - преобразование для случая , т.е.
Таблица оригиналов и изображений дискретного