- •Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
- •Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
- •Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
- •Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
- •Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
- •Дайте определения односторонних пределов функции.
- •Перечислите основные правила вычисления пределов функций.
- •Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.
- •Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?
- •Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.
- •Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.
- •Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.
- •Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .
- •Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.
- •Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.
- •Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
- •Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
- •Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
- •Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .
- •Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.
- •Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
- •Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
- •В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
- •Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
- •Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
- •Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
- •Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
- •Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
- •Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.
- •Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?
- •Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.
- •Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.
- •Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.
- •Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.
- •Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.
- •Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
- •Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
- •Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
Файл принадлежит факультету Менеджмента и Социологии, 1 курсу 2009 г. набора. ©
Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
Пусть х, у R. Если каждому числу х Х соответствует некоторому правилу единственное число у У, то говорят, что на мн-ве Х задана ф-я f: у = f (x); X Y.
Если задана функция y=f(x), но при этом x=g(t), то производя замену получим y=f(g(t))- сложная функция(y=sinx,x=t2 ,тогда y=sin t2)
Для функции у=f(x) функция x=g(y) называется обратной, если
1)Область значений функции f совпадает с областью определения функции g
2)y=f(g(x))( y = ex, x= ln y) ,
D(y): х€[2пk; п+2пk] k€Z
E(x^2-8x+13)=[-3;∞]
вершина: x=4, y=-3, ветви вверх
Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
Ф-ю f(x), определенную на симметричном относительно 0 промежутке, наз-ют четной, если f (-x) = f (x) для всех х D(f). Гр чёт ф-и симметричен относительно оси ординат Oy Пример у = х2. Ф-ю f(x), определенную на симметричном отн-но 0 промежутке, на-ют неч, если f (-x) = - f (x) для всех х D(f). График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Пример у = х3.
Ф-ю f(x) наз-ют периодической, если сущ-ет Т>0, такое, что для всех x€D, вып-ся x+T€D и f(x+T)=f(x), где T – период. Наим T наз-ся основным периодом ф-и.
Пример: y = sinx T=2п; y=ctgx T=п
Функция y=f(x) называется ограниченной сверху, если f(x) ≤m, снизу f(x) ≥m.
Если |f(x)| ≤m, m>0, то ф-ция ограниченная.
Если |f(x)| ≥m, m≥0, то ф-ция неограниченная.
Пример: y=x2-ограничена снизу 0; y=-x2-ограничена сверху 0; y=x3-неограниченная; y=sinx – ограниченная [-1;1]
Монотонная ф-я. Если ф-я возр или убыв на нек-ом промежутке, то она наз-ся монотонной на этом промежутке. Ф-я f (x) наз-ся возр-ей на пром-ке D, если для люб чисел x1 и x2 из пром-ка D таких, что x1 < x2, вып-ся нер-во f (x1) < f (x2). Ф-я f (x) наз-ся убыв на пром-ке D, если для люб чисел x1 и x2 из пром-ка D таких, что x1 < x2, вып-ся нер-во f (x1) > f (x2). (Критерий мон-ти ф-и, имеющей производную на интервале) Пусть ф-я непрерывна на (a,b), и имеет в каж точке производную f'(x). Тогда f возр на (a,b) т и т т, к
f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда
Пример: y=x2 при х (-∞;0] убывает и при х [0;∞) возрастает.
– функция нечетная, т.к.
Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
Числовой последовательностью называется функция f: N→R, где N=D(f). (N, R с толстой ножкой). Принято обозначение: a1=f(1), a2=f(2),…, an=f(n),… или {an}: a1, a2,…, an, где an =f(n) – общий член посл-ти.
Число а наз-ся пределом числовой посл-ти {an}, если для любого сколь угодно мал ε>0 найдется такое N>0, что для всех членов посл-ти an с номерами n>N вып-ся |an-a|<ε. Пример: Известно, что дробь 1/3 представлена в виде беск период дроби 0,333…Образует числовую посл-ть а1=0,3; a2=0,33; a3=0,333…. А потому, если задать к-л беск-но малое Ɛ>0 мы можем найти такой номер N, что |аn-1/3|< Ɛ при n>N. Н-р, Ɛ=0,001, тогда N=2, т.к. 1/3-а3=1/30000<1/1000
Lim an=1/3 при n стрем.к бесконечности.
Теорема: если an имеет предел, то он единственный.
Доказательство. От противного. Пусть {an} имеет 2 предела a и b (a≠b). Выберем ε>0 для предела а и σ>0 для предела b, такие, что ε и σ – окрестности точек а и b не пересекаются. Согласно определению найдутся номера N для ε и M для σ, такие что aN+1, aN+2,… лежат в ε-окрестности числа а; aM+1, aM+2,… лежат в σ-окрестности числа b. Выберем число К=max{M,N}, тогда aK+1, aK+2,… лежат одновременно в непересек-ся окр-ях чисел а и b, что невозможно.
Дайте опр сходящейся числовой посл-ти и сфор-те основные свойства сходящихся числовых посл-ей. Посл-ть {xn} наз-ся сходящейся к а, если для любого вещественного числа ε>0 (сколь угодно малого), сущ-ет номер N(ε), начиная с кот для всех членов посл-ти справедливо: |xn –a|<ε. Это озн-ет, что предел посл-ти {xn} равен а. Этот факт записывается так: .
Осн-ые св-ва: 1) Сходящаяся посл-ть имеет только один предел. 2) Сходящаяся посл-ть является ограниченной. 3) если члены сходящейся посл-ти удовлетворяют нер-ву xn>=b,то и limxn>=b
4)Пусть имеются 3 посл-ти an,bn,cn,из кот-ых an и cn имеют один и тот же предел а. если an<=bn<=cn при всех n=1,2 то посл-ть bn имеет тот же предел a. 5) lim n→∞ (an±bn)=a±b
6) lim n→∞ (an*bn) = lim n→∞ an * lim n→∞ bn = a*b
7) lim n→∞ (an/bn) = lim n→∞ an / lim n→∞ bn = a/b (bn≠0, b≠0)
Примеры: 1) lim n→∞ ((1/n)*e1/n)= lim n→∞ (1/n) * lim n→∞ (e1/n)=0*1=0
2) lim n→∞ равен нуля, т.к. по теореме о 2 милиционерах, он заключен между пределами (-1)/n и 1/n (крайние пределы равны нулю, значит и данный предел тоже равен нулю).
3) lim n→∞ ((1/n)+e1/n)= lim n→∞ (1/n) + lim n→∞ (e1/n)=0+1=1
4) lim n→∞ (2+1/n)/(e1/n)= lim n→∞ (2+1/n)/ lim n→∞ (e1/n)=2/1=2
Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей и перечислите их основные свойства. Докажите, что следующая последовательность бесконечно большая, а последовательность - бесконечно малая.
Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х →Х0, или при х →∞, если ее предел равен нулю: limх →Х0а(х) =0.
Св-ва: 1. Алг-ая сумма конечного числа беск малых величин есть вел-на беск малая.
2. Произведение беск малой величины на ограниченную ф-ю есть величина беск малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Ф-я f(х) наз-ся беско большой вел-ой при х →Х0, если для люб даже сколь угодно большого пол-го числа М>0 найдется такое полож число δ > 0(зависящее от М, δ = δ(М)), что для всех х, не равных х0 и удовл-щих условию |х – х0|<δ, будет верно нер-во |f{x)| > М.
Свойства: 1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2. Сумма беск бол величины и огран ф-и есть величина беск-о большая.
3. Частное от деления беск большой величины на ф-ю, имеющую предел, есть величина беск большая.
Док.:
А>0
an>0 →n2>A → n> квадратный корень из А
Пример: А=50, N=E(квадратный корень из 50)=7; а8=64>50; a7=49<50
Ɛ>0 |n/(n2+1)|<Ɛ n2Ɛ-n+Ɛ>0 n2Ɛ-n+Ɛ=0 n(1,2)=(1±квадратный корень из (1-4Ɛ2))/2Ɛ
n>(1+квадратный корень из (1-4Ɛ2))/2Ɛ
N=E[(1+квадратный корень из (1-4Ɛ2))/2Ɛ]
Ɛ=0,1 N=E[9,89]=9 n=9 9/82≈0,1097 n=10 10/101≈0,0990