- •Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
- •Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
- •Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
- •Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
- •Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
- •Дайте определения односторонних пределов функции.
- •Перечислите основные правила вычисления пределов функций.
- •Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.
- •Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?
- •Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.
- •Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.
- •Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.
- •Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .
- •Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.
- •Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.
- •Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
- •Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
- •Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
- •Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .
- •Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.
- •Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
- •Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
- •В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
- •Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
- •Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
- •Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
- •Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
- •Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
- •Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.
- •Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?
- •Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.
- •Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.
- •Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.
- •Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.
- •Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.
- •Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
- •Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
- •Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
Определение: Точкой перегиба непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Теорема 1. (необходимое условие перегиба). Вторая производная f(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х0 равна 0, т.е. f(x) = 0
Теорема 2.(достаточное условие перегиба). Если вторая производная f(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х0, меняет свой знак , то х0 есть точка перегиба её графика.
Пример: Найдём точки перегиба графика функции y = (x)3
y = 3x2
y = 6x
6x=0, y = 0 , x0 =0 есть точкa перегиба гр ф-и. При переходе через данную точку ф-я действительно меняет свой знак (что видно из гр данной ф-и).
Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
Если каждой точке М (х, у) из некоторого множества U (x O y) (или, что тоже самое множества U R2) ставится в соответствие единственное число Z R, то говорят, что на множестве задана функция и пишут z = f (M ) или z = f ( x, y ). Здесь х, у – координаты точки М, называются независимыми переменными или аргументами, величина z называется зависимой переменной, f означает закон соответствия или функцию, U – область определения функции, Z – область значений функции, т.е. D (f ) = U и E ( f ) = Z. Пример.
Число A наз-ся пределом ф-и z = f (x, y ) в точке М, если для люб сход-ся к М посл-ти точек { Mn} из U D (f ) соответствующая посл-ть значений ф-и zn = f (xn, yn) сходится к числу А.
В этом случае пишут
Пример
Функция z = f (x, y ), определенная на множестве U = D (f ), называется непрерывной в точке М (a, b), если
1. она определена в этой точке;
2.
Пример в точке М (1, 0)
Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
Зададим приращение х переменно х функции z = f(x,y) и вычислим приращение последней, а именно xz = f (x + х,y) – f(x,y). Если существует конечный предел lim Dх 0 xz/Dх = lim Dх 0 f(x + х,y) – f(x,y))/Dх, то он называется частной производной функции z = f(x,y) по аргументу х. Аналогично для приращения аргумента у, приращение функции имеет вид: уz = f(х,y + y) – f(x,y). Если существует конечный предел lim Dу 0 уz/Dу = lim Dу 0 (f(х,y + y) – f(x,y))/Dу, то он называется частной производной функции z = f(x,y) по аргументу у. Правило: каждая частная производная вычисляется как производная от функции одного аргумента, т.е. {dz/dx=f′x(x,y), y=const; dz/dy=fy(x,y), x=const.
Пр. Най z′x и z′y, ес z=5x3y2-x. 1) z′x =5*(3x2) y2 – 1 = 15x2y2 – 1. 2) z′у =5*(2у) х3 – 0 = 10x3y.
Если смешанные частные производные и – непрерывные ф-и в нек области U, то в этой области они совпадают, т.е. .
Функция называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение этой функции можно представить в виде
, (1)
где А и В – некоторые константы, а и ─ бесконечно малые функции при и . Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости).
Если ф-я дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости).
Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные, причём
Част диф-ом ф-и z=f(x;y) по аргументу х (соот-но у) наз-ся диф-ал ф-и одного аргумента z=f(x;y0) (z=f(x0;y) соответственно). Приняты обозначения: dxz; dxf(x;y), dуz; dуf(x;y)
В силу опр-я dxz = z′xdx; dyz = z′ydy или dxz = z′xx; dyz = z′yy (т.к. dx=x, dy=y). Частная производная z′x ф-и z=f(x;y) равна z′x = dxz/ dx; частная производная z′y = dуz/dу = dуz/Dу.
Полным дифференциалом функции z=f(x;y) называют сумму ее частных дифференциалов, т.е. dz = dxz+dyz = z′xdx + z′ydy.
Функция называется дифференцируемой, если она имеет полный дифференциал, т.е. существуют частные производные z′x и z′у. Имеет место равенство – полное приращение функции: z = f(x0+x; y0+y) – f(x0,y0). Как в случае с частными приращениями имеет место равенство: f (x0,y0) ≈ df(x0,y0) или подробнее f(x0+x; y0+y) ≈ f(x0,y0)+ f′x(x0;y0)*x+f′y(x0;y0)*y
Первый дифференциал f x’(M)dx+f y’(M)dy
z=5x3y2-x
Пример: (0,98)2,01 1)зададим функцию z=xy 2)x0=1,y0=2,∆x=-0,02,∆y=0,01 3)найдем частные производные z ‘x=yx y-1,z’ y=x y lnx 4)f(o,98;2,01)=f(1,2)+f x(1,2)(-0,02)+f y(1,2)(0,01)=0,96