3.Определение момента установления температуры окружающей среды
Закон изменения температуры окружающей среды:
Где
Момент времени t0 находим, решая уравнение:
обозначим:
Тогда
уравнение приобретает вид:
Требуется
приближенно найти корень данного
уравнения, имеющий
.
3.1 Отделение корней
Нахождение отрезка [a, b], содержащего наименьший положительный корень уравнения.
Достаточные условия единственности корня уравнения на [a, b]:
1)
2)
строго монотонна на [a,
b],
то есть
или
на [a,
b].
В данном случае:
После некоторых преобразований найдем T:
T=2.03918
3.2 Уточнение корня методом половинного деления
Идея
метода состоит в нахождении приблизительного
значения корня уравнения
на
[a,
b]
путем последовательного приближения
к корню с концов отрезка. Положим a=a0,
b=b0
и будем делать на i-м
шаге один из концов полу суммой
.
Соответственно, при стремлении числа
шагов к бесконечности, оба конца
сужающегося отрезка будут стремиться
к искомому корню. Условием же окончания
алгоритма в данном случае является:
Откуда:
n |
an |
bn |
|
0 |
2.02 |
2.06 |
4*10-2 |
1 |
2.02 |
2.04 |
2*10-2 |
2 |
2.03 |
2.04 |
1*10-2 |
3 |
2.035 |
2.04 |
5*10-3 |
4 |
2.0375 |
2.04 |
2.5*10-3 |
5 |
2.03875 |
2.04 |
1.25*10-3 |
6 |
2.03875 |
2.03938 |
6.3*10-4 |
7 |
2.03906 |
2.03938 |
3.2*10-4 |
8 |
2.03906 |
2.03922 |
1.6*10-4 |
9 |
2.03914 |
2.03922 |
8*10-5 |
.03918
3.3 Решения уравнения комбинированным методом
Уравнение комбинированного метода:
,
где
Пусть
[a,
b]
– промежуток локализации корня. Условие
применения комбинированного метода –
сохранение выпуклости графика f(t)
на [a,
b],
то есть
(выпуклость вниз) или
(выпуклость вверх) на [a,
b].
а)
>0,
в)
<0,
б)
>0,
г)
<0,
Если
,
то метод касательной применяется с
точки b:
Слева
Справа
Если , то метод касательной применяется с точки a и в расчетных формулах a меняется на b и наоборот.
Условие
окончания вычислений от:
(
).
Подставив исходные данные, получим:
В нашем случае они положительны и больше нуля, что соответствует рисунку под буквой а).
После некоторых преобразований получим результаты расчетов, сведем их в таблицу:
n |
an |
bn |
|
0 |
2.02 |
2.06 |
0.04 |
1 |
2.03902 |
2.03927 |
2.50883*10-4 |
2 |
2.03915 |
2.03915 |
1.06801*10-8 |
t
t0
a0
b0
f(t)
ξ=2.03915