- •Санкт-петербургский государственный Технологический институт (Технический университет)
- •Содержание Введение
- •1. И сходные физические, математические модели. Постановка задачи.
- •1.1 Нелинейная модель с распределенными параметрами (основная модель)
- •1.2 Нелинейная модель с сосредоточенными параметрами
- •1.3 Линейная модель с сосредоточенными параметрами
- •1.4 Исходные данные
- •2. Обработка экспериментальных данных. Построение оценочной функции регрессии α по u
- •3.Определение момента установления температуры окружающей среды
- •3.1 Отделение корней
- •3.2 Уточнение корня методом половинного деления
- •3.3 Решения уравнения комбинированным методом
- •3.4 Решение уравнений методом итераций
- •4. Вычисление интеграла I для линейной модели с сосредоточенными параметрами
- •4.1. Вычисление интеграла I по формуле прямоугольников
- •4.2. Вычисление интеграла по формулам трапеций
- •4.3. Вычисление интеграла по формуле парабол (методом Симпсона)
- •5. Приближенное решение задачи Коши (для нелинейной модели с сосредоточенными параметрами)
- •5.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •5.2. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта
- •Заключение
- •Список используемой литературы
3.4 Решение уравнений методом итераций
Применим метод для решения уравнения вида:
Пусть [a, b] – промежуток локализации корня и .
Последовательность сходится к корню уравнения при условии на [a, b] (ε – корень уравнения ).
Условие окончания итераций:
f(t)=0, где
Приведение этого уравнения к виду, пригодному для метода итераций:
, где
1)
y=x
2)
y=x
y=φ(x)
φ(x0)
φ(x1)
φ(x1)
y=φ(x)
x
x
φ(x0)
x2
x1
x0
x1
x2
x0
- Строго монотонна
- Колеблющаяся
Результаты расчетов сведем в таблицу:
n |
|
|
0 |
2.035 |
- |
1 |
2.03915 |
4.15281*10-3 |
q=9.80489*10-3
4. Вычисление интеграла I для линейной модели с сосредоточенными параметрами
При закон изменения температуры пластины ,
где
[с]- постоянная времени системы.
Требуется найти приближенное значение интеграла I с абсолютной погрешностью не более .
Обозначим .
Абсолютная погрешность вычисления J не должна превышать
4.1. Вычисление интеграла I по формуле прямоугольников
, где
n- число делений [0, ]
–шаг интегрирования
– формула прямоугольника.
Оценка абсолютной погрешности :
,
Если требуется .
Так как искать сложно, для оценки погрешности используется правило Рунге:
если , то ,
где - приближенное значение интеграла при числе разбиений n
– приближенное значение интеграла при числе разбиений 2n.
Результаты расчетов сведем в таблицу:
n |
|
|
1 |
141.222 |
- |
2 |
125.257 |
15.965 |
4 |
120.929 |
4.328 |
8 |
119.834 |
1.095 |
16 |
119.56 |
0.274 |
4.2. Вычисление интеграла по формулам трапеций
[с]- постоянная времени система.
n- число делений [0; ]
- шаг интегрирования
- формула трапеции.
Оценка абсолютной погрешности: , где .
Если требуется , то .
Так как считать сложно, для оценки погрешности используется правило Рунге:
Если , то
Результаты расчетов сведем в таблицу:
n |
|
|
1 |
74.429 |
- |
2 |
107.825 |
33.396 |
4 |
116.541 |
8.716 |
8 |
118.735 |
2.194 |
16 |
119.285 |
0.55 |