9. Закон инерции.

Количество положительных (отрицательных) слагаемых квадратичной формы в канонической записи не зависит от способа приведения формы к данному виду.

Число положительных канонических коэффициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы.

Число отрицательных канонических коэффициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы.

Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы.

Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

10. Вещественное евклидовое пространство и его простейшие свойства.

Линейное (векторное) пространство R называется вещественным евклидовым пространством, если в нем определенно скалярное произведение вектора, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. (x,y)=(y,x) - коммутативность

2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z) - дистрибутивность

3. (λx,y)=λ(x,y), λэ|R – однородность

4. (x,x)≥0 (x,x)=0 при х=0, (х=0 нулевой вектор)

Длиной вектора в евклидовом пространстве называется корень из (х,х).

Простейшие свойства евклидова пространства:

1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (х,у)²≤(х,х)(у,у) называемое неравенством Коши-Буняковского.

2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством ||x||=корень из (х,х)

11.Ортонормированный базис конечномерного евклидового пространства.

Пусть Х-евклидово пространство. Векторы х,у принадлежат Х и называются ортогональными, если (х,у)=0

Набор векторов u₁u₂…u_n называется ортонормированным, если эти векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину: |u_i|=1 для всех i (u_i,u_j)=0 при i≠j.

Ортонормированный базис- это ортонормированный набор векторов, являющийся базисом пространства.

Теорема. ( ортогонализация по Граму-Шмидту) Пусть w₁,…w_k-линейно-независимый набор векторов в евклидовом пространстве. Тогда существует единственный ортонормированный набор u_1,…,u_k, такой что

1. Для каждого k≤n линейные оболочки наборов { w₁,…w_k } и { u_1,…,u_k} совпадают.

2. (u_k,w_k)>0 для всех k≤n.

В конечномерном векторном пространстве существует ортонормированный базис, причем любой ортонормированный набор векторов можно дополнить до ортонормированного базиса.

Во всяком n- мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

12. Неравенство Коши - Буняковского.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве.

Для любых векторов х и у евклидова пространства Е справедливо неравенство Коши-Буняковского: (х,у)²≤(х,х)(у,у)

При х=0 обе части неравенства равны нулю, значит, неравенство выполняется. Отбросив этот случай, будем считать, что х≠0. Для любого числа λ выполняется неравенство (λх-у, λх-у)≥0.Преобразуем левую часть неравенства: (λх-у, λх-у)=λ(х,λх-у)-(у,λх-у)=λ²(х,х)-2λ(х,у)+(у,у) Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра λ(коэффициент (х,х) при λ² ненулевой т.к. х≠0), неотрицательный при всех действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный т.е. (х,у)²-(х,х)(у,у)≤0.