- •Несобственные интегралы.
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами. (Несобственные интегралы 1-го рода).
- •Геометрический смысл несобственного интеграла.
- •Признаки сходимости.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 1-го рода.
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
- •Признаки сходимости интегралов 2-го рода.
- •Общий признак сходимости несобственного интеграла 2-го рода.
- •Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода.
- •Признак Абеля-Дирихле.
- •Основная формула интегрального исчисления для несобственных интегралов.
- •Интегрирование по частям несобственных интегралов.
- •Замена переменной интегрирования в несобственных интегралах.
Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода.
Определение. Если несобственный интеграл , то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.
Теорема 1. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл .
Пример. Исследовать на сходимость интеграл .
Подынтегральная функция знакопеременная. Заметим, что
. Но = =0+0,5=0,5
Следовательно, интеграл сходится. Значит, сходится и .
Теорема 2. Пусть g(x) хотя бы для х[b,+) (bа). Тогда из сходимости интеграла следует сходимость (и притом абсолютная) интеграла .
Доказательство. Из 1-го признака сравнения из сходимости следует сходимость по теореме 1 следует сходимость . Ч.т.д.
Теорема 3. Пусть имеется несобственный интеграл . Пусть функция g(x) – ограниченная на [а,+), т.е. существует L>0 такое, что L, x[a,+). Пусть сходится абсолютно. Тогда сходится абсолютно.
Доказательство. Имеем = L , x[a,+).
По условию, сходится - сходится - сходится сходится абсолютно. Ч.т.д.
Общий признак сходимости несобственного интеграла 1-го рода.
Теорема. Для того, чтобы несобственный интеграл сходился, необходимо и достаточно, чтобы >0 отвечало число М()>0 такое, что как только
В1>M, B2>M <.
Доказательство. Рассмотрим функцию =(B). Сходимость несобственного интеграла равносильна существованию конечного предела у функции ()= при В+. Для существованию конечного предела у функции (В), заданной в промежутке [a,+) при + необходимо и достаточно, чтобы >0 отвечало число М()>0 такое, что как только
В1>M, B2>M <.
( В1)-( В2)= - = Ч.т.д.
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).
Пусть функция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке [a,b] всюду, за исключением, быть может, точки а, в окрестности которой функция f(x) не ограничена (a и b - конечные числа).
Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на полуинтервале [a;b) называется предел , где δ>0, т.е.
= (1)
или =
Если предел, стоящий в правой части равенства (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции у=f(x) непрерывной, но неограниченной на (a;b]:
= (2)
или =
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции у=f(x) непрерывной, но неограниченной на (a;b):
= + (3)
При этом интеграл сходящийся. Если хотя бы один из интегралов или расходится, то не собственный интеграл называется расходящимся.
Это определение не зависит от выбора числа c.
Примеры. 1) Вычислить: .
Подынтегральная функция f(x)= не ограничена в окрестности точки х=1 (т.е. «обращается в бесконечность»). Поэтому точка х=1 особая. На любом же отрезке [0;1-δ) она непрерывна и, следовательно, интегрируема.
По определению имеем:
= = = =
2) Вычислить: .
Т.к. внутри отрезка интегрирования существует точка х=0, в которой подынтегральная функция разрывна, то интеграл нужно представить как сумму 2-х слагаемых:
= +
=- = -
=- = -
Т.о. исходный интеграл на промежутке [-1;1] расходится.
Если бы мы начали вычислять этот интеграл, не обращая внимание на разрыв подынтегральной функции в точке х=0, то получили бы неверный результат:
= - =-2, что невозможно (график).