Общий признак сходимости несобственного интеграла 2-го рода.
Теорема. Для того, чтобы несобственный интеграл сходился необходимо и достаточно, чтобы >0 отвечало число >0 такое, что как только
b-<<b
и b-<<b
<.
Доказательство.
Рассмотрим функцию
=().
Сходимость несобственного интеграла
равносильна существованию конечного
предела у функции ()=
при b-0.
Для существованию
конечного предела у функции (),
заданной в промежутке [a,b) при b-0
необходимо и достаточно, чтобы >0
отвечало число >0
такое, что как только
b-<<b
и b-<<b
<.
()-()=
-
=
Ч.т.д.
Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода.
Определение.
Пусть f(x)
определена в [a,b]
всюду, за исключением, быть может, точки
b,
и не является ограниченной в окрестности
точки b.
Пусть f(x)
ограничена на [a,],
где a<<b.
Если несобственный интеграл
,
то несобственный интеграл
называется абсолютно
сходящимся.
Теорема 1. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл .
Доказательство.
Возьмем произвольное >0.
По условию
сходится
взятому >0
отвечает >0
такое, что как только b-<<b
и b-<<b
<.
Имеем
<,
если b-<<b
и b-<<b
интеграл
- сходится. Ч.т.д.
Теорема 2. Пусть g(x) хотя бы для х[с;b) (ас<b). Тогда из сходимости несобственного интеграла следует сходимость (и притом абсолютная) интеграла .
Доказательство.
Из 1-го признака сравнения из сходимости
следует сходимость
по
теореме 1 следует сходимость
. Ч.т.д.
Теорема
3. Пусть
имеется несобственный интеграл
.
Пусть функция g(x)
– ограниченная на [а,b],
т.е. существует L>0
такое, что
L,
x[a,b].
Пусть
сходится абсолютно. Тогда
сходится абсолютно.
Доказательство. Имеем = L , x[a,b).
По
условию,
сходится
- сходится
- сходится
сходится абсолютно. Ч.т.д.
Признак Абеля-Дирихле.
Теорема. Пусть имеется несобственный интеграл .
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна на промежутке [a,+) и имеет там ограниченную первообразную F(x);
2) g(x) определена на промежутке [a,+) и имеет там непрерывную первообразную g(х);
3) g(x) монотонно убывает на [a,+) (g(х)0, х[a,+));
4)
=0
(g(х)0,
х[a,+)).
Тогда сходится.
Основная формула интегрального исчисления для несобственных интегралов.
Теорема.
Пусть f(x)
определена и непрерывна на [a,b)
(f(x)
определена и непрерывна на [a,],
где
- любое, удовлетворяющее условию a<<b).
Пусть F(x)
- первообразная для f(x)
на [a,b).
Тогда если F(x)
непрерывна на [a,b],
то несобственный интеграл
сходится, и
=F(b)-F(a).
Доказательство. Возьмем - любое, удовлетворяющее условию a<<b. Имеем
=F()-F(a) (1)
По
условию, F(x)
непрерывна на [a,b]в
частности, что F(x)
непрерывна слева в точке b,
т.е.
=F(b).
В соотношении (1) перейдем к пределу при
b-0.
Т.к.
=F(b)-F(a).
Существует, конечный, то существует
конечный
сходится, причем
=F(b)-F(a). Ч.т.д.
Замечание. Для несобственных интегралов 1-го рода имеет место аналогичная теорема: пусть f(x) определена и непрерывна на [a,+) (f(x) определена и непрерывна на [a,В], где В - любое, удовлетворяющее условию В>a). Пусть F(x) - первообразная для f(x) на [a,+). Тогда
=
=F(+)-F(a). (2)
Символом
F(+)
обозначают
.
Например, arctg(+)=
.
Символ F(+)
не всегда имеет смысл. Например, cos(+)
не имеет смысла, т.к.
не существует.
Доказательство. Возьмем В – любое, но такое, что B>a. Имеем
=F(B)-F(a) (3)
Перейдем в (3) к пределу при В+. Из (3) ясно:
1)
Если существует конечный
=F(+),
то существует конечный
,
а значит сходится и несобственный
интеграл
.
2) Если несобственный интеграл сходится, т.е. если существует конечный предел , то существует и конечный =F(+). Ч.т.д.