3. Потери напора при внезапном расширении. Формула борда

На рис. 8.3 показан случай, когда труба, имеющая диаметр D₁, переходит в трубу, имеющую больший диаметр D₂ (D₂  D₁). Струя, выходящая из первой трубы, на некоторой длине расширяется и в сечении 2-2 заполняет все сечение второй трубы. На длине l_в струи имеет место отрыв ее от стенок трубы и образование водоворотной зоны А.

Рис. 8.3. К выводу формулы Борда. Внезапное расширение трубопровода

На протяжении расширяющейся струи и переходного участка получаем неравномерное движение.

Между сечениями 1-1 и 2-2 возникает местная потеря напора. Эту потерю назовем потерей напора на внезапное расширение и будем обозначать ее через h_в.р.. Впервые расчетную зависимость для h_в.р. получил французский инженер Борда, который уподобил резкое расширение струи явлению удара неупругих твердых тел.

Выведем формулу Борда, пользуясь уравнениями Бернулли и количества движения. Соединяем сечения 1-1 и 2-2 уравнением Бернулли.

. (8.1)

Примем, что распределение скоростей в сечении 1-1 и 2-2 равномерное, то есть ₁ = ₂ = 1, тогда (8.1) перепишем в следующем виде:

. (8.2)

Разность давлений найдем, пользуясь теоремой механики об изменении количества движения к цилиндрическому объему, заключенному между сечениями 1-1 и 2-2 и стенкой трубы.

Примечание. Количество движения системы можно выразить через массу системы М и скорость центра масс :

.

Теорема импульсов для системы: изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему, за то же время.

,

где – количество движения системы в момент t = 0;

– количество движения в момент время t;

– импульс внешней силы, действующей на точку за время t.

Полный импульс силы за время t, или импульс силы , определяют по формуле:

.

Масса жидкости, котороя за время dt проходит через сечения 1-1 и 2-2:

,

где Q (без черты) – расход жидкости.

Тогда:

. (8.3)

В конечном счете, получим:

. (8.4)

Рассмотрим проекции внешних сил на ось потока. В сечении 1-1, взятом по большому диаметру сразу за расширением, действует в направлении потока Р₁ = р₁₁ и сила воздействия кольцевой стенки площадью ₂ – ₁ на поток . Сумма этих сил . Сила давления в сечении 2-2, направлена против движения, . Проек­циями сил трения на боковой стенке пренебрегаем из-за небольшой длины выделенного отсека. Проекция собственного веса отсека между сечениями 1-1 и 2-2 равна нулю.

Запишем (8.4) с учетом всех сил:

, (8.5)

откуда, имея в виду, что и , получаем:

. (8.6)

Подставляя (8.6) в (8.2), имеем:

, (8.7)

или окончательно:

, (8.8)

где разность (₁ – ₂) называют потерянной скоростью.

Формула (8) называется формулой Борда. Согласно этой формуле потеря напора при резком расширении равняется скоростному напору, отвечающему потерянной скорости.

Так как по уравнению неразрывности , то формулу (8.8) можно представить:

,

или .

Отсюда коэффициенты сопротивления при внезапном расширении потока:

; .