62. Вероятное динамическое программирование. Модель дп для задачи инвестирования.

Обозначим:

x_i – сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года,

y_i – сумма реальной инвестиции в начале i-го года (x_i≤ y_i),

n – срок, на которой планируется провести инвестирование.

Прибыль от инвестиции зависит от m условий рынка.

Условие i приводит к прибыли r_i c вероятностью p_i, I = 1, 2, …, m.

Элементы модели ДП:

Этап i представляет i-й год инвестирования.

Альтернативами на этапе i являются величины y_i.

Состояние системы на этапе i описывается величиной x_i.

Пусть f_i(x_i) – максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за года от i до n при условии, что в начале i –го года имеется сумма x_i. Для k-го условия рынка имеем следующее.

Так как вероятность k- го условия рынка равна p_k , рекуррентное уравнение динамического программирования имеет следующий вид.

где , так как после n-го года инвестиции нет. Отсюда следует, что

поскольку функция в фигурных скобках является линейной по y_n и, следовательно, достигает своего максимума при y_n=x_n.

63. Вероятное динамическое программирование. Уравнение состояния для задачи инвестирования.

Состояние системы на этапе i описывается величиной x_i.

Обозначим:

x_i – сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года,

y_i – сумма реальной инвестиции в начале i-го года (x_i≤ y_i).

Прибыль от инвестиции зависит от m условий рынка.

Условие i приводит к прибыли r_i c вероятностью p_i, I = 1, 2, …, m.

Пусть f_i(x_i) – максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за года от i до n при условии, что в начале i –го года имеется сумма x_i. Для k-го условия рынка имеем следующее.

64. Вероятное динамическое программирование. Этап расчета в задаче инвестирования.

Этап i представляет i-й год инвестирования.

Пусть объем инвестиции составляет C=10 000 долларов на 4-летний период. Существует 40% вероятность того, что деньги можно удвоить, 20%-ная – остаться при своих деньгах и 40% - потерять весь объем инвестиций. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования.

C = $10 000, n = 4, m = 3,

p₁ = 0.4, p₂ = 0.2, p₃ = 0.4,

r₁ = 2, r₂ = 0, r₃ = -1.

Этап 4.

.

Отсюда получаем

Состояние	Оптимальное решение
	f4(x4)
x4	1.4x4	x4

Этап 3.

Поэтому имеем:

Состояние	Оптимальное решение
	f3(x3)
x3	1.96x3	x3

65. Вероятное динамическое программирование. Понятие максимизация вероятности достижениями.

Задача максимизация вероятности достижениями заключается в максимизации вероятности достижения определенного уровня дохода.

Элементы модели ДП:

Этап i представляет i-й год инвестирования.

Альтернативами на этапе i являются величины y_i.

Состояние системы на этапе i описывается величиной x_i.

Целью этой задачи является максимизации вероятности достижения некоторой накопленной денежной суммы S по истечении n лет. С этой точки зрения определим функцию f_i(x_i) – вероятность накопления суммы S, если в начале i –го года имеются денежные средства в сумме x_i и для последующих лет i,i+1,…,n используется оптимальное инвестирование.

Рекуррентное уравнение динамического программирования имеет вид

Рекуррентная формула основана на формуле условной вероятности

.